Minimalpolynom, Grad der Körpererw., Zwischenkörper

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Alaster Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom, Grad der Körpererw., Zwischenkörper
Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit folgendem Problem:

Sei .

(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von über und geben Sie den Grad d der Körpererweiterung an.

(b) Geben Sie einen echten Zwischenkörper der Körpererweiterung an.

(c) Drücken Sie das Element als -Linearkombination von aus.

Meine Ideen:

(a) Ich glaube das Minimalpolynom ist . Das muss ich jetzt natürlich noch zeigen.
Es ist ja . Also ist es schonmal normiert (da Leitkoeffizient 1). Noch zu zeigen ist, dass es irreduzibel ist über . Angenommen, es ist reduzibel über . Dann hat eine Nullstelle . Da ganzzahlige Koeffizienten und Leitkoeffizient 1 hat, muss die Nullstelle eine ganze Zahl sein und außerdem das Absolutglied -30 teilen. Folglich ist . Wie man leicht nachrechnet durch Einsetzen gilt . Widerspruch.
Meine Frage hier: Muss ich auch noch extra zeigen, dass eindeutig bestimmt ist? Weil das haben wir in der Definition vom Minimalpolynom immer mit aufgeschrieben aber in den Beispielen wurde es nie extra gezeigt.

Der Grad d der Körpererweiterung ist ja gerade der Grad von . Also ist .

(b) Hier muss ich einen Körper Z finden mit . Hier fehlt mir die Idee. Wie komme ich hier auf einen Ansatz? Geht es vielleicht über die Gradformel? Aber dann weiß ich immer noch nicht, wie ich den Zwischenkörper basteln soll.

(c) Das wäre doch . Na ja, ich weiß nicht, wie ich die Linearkombination "in den Nenner" bekommen soll.

LG.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

a) Damit hast du aber die Irreduzibilität noch nicht bewiesen.
Ich würde eines der Standardkriterien vorschlagen.

b)Ich wüsste nicht wie man aus der Gradformel einen Körper basteln soll.
Schreib doch mal die Potenzen von alpha hin. Da kann man schöne kandidaten sehen.

c) Schreib mal explizit hin, was du genau zeigen sollst.
Insbesondere der Tipp aus b) könnte helfen. und [latex] \alpha ^2-3 [\latex]
ausrechnen könnte evtl. die Verwirrung lindern
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (a): Warum reicht es nicht aus? Ich hab doch jetzt gezeigt, dass keine Nullstellen in hat. Warum folgt daraus noch nicht die Irreduziblität?

Zu (b): Die Potenzen von sind:






.

Welcher Kandidat kommt nun in Frage? Oder anders gefragt, woran erkenne ich ihn? Er muss ja einerseits in liegen und andererseits darf nicht in liegen für den betreffenden Kandidaten .

Zu (c): Es ist . Also muss ich als Linearkombination der Potenzen oben darstellen, also

,

wobei . Aber wie kann ich die bestimmen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alaster
Zu (a): Warum reicht es nicht aus? Ich hab doch jetzt gezeigt, dass keine Nullstellen in hat. Warum folgt daraus noch nicht die Irreduziblität?


Weil es sich um ein Polynom vom Grad 6 handelt, das könnte auch gut in zwei Polynome vom Grad 3 zerfallen oder in drei Polynome vom Grad 2, du hast lediglich gezeigt, dass kein Linearfaktor abspaltbar ist.

Zitat:
Original von Alaster
Zu (b): Die Potenzen von sind:




--> hier besteht noch Rechenbedarf

.


Bei welcher dieser Elemente lässt sich denn auf einen Körper schließen, der gleichzeitig ein erweiterungskörper von Q ist, aber nicht der volle Körper ?


Zitat:
Original von Alaster
Zu (c): Es ist . Also muss ich als Linearkombination der Potenzen oben darstellen, also

,

wobei . Aber wie kann ich die bestimmen?


Mache den Nenner rational.....
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (a): . Mit Eisenstein geht es einfacher. Ich kann ja einfach wählen. Dann ist es nach Eisenstein irreduzibel.

Zu (b):






.

Ich vermute mal, dass ein Kandidat ist. Dann muss ich ja zeigen, dass oder? Ich versuch das mal: Angenommen es würde gelten , dann wäre



mit . Quadrieren liefert

.

Durch Koeffizientenvergleich erhält man, dass



und

.

Wenn ich das richtig sehe, dann ist hier die erste Gleichung ein Widerspruch zu . Bin ich damit fertig, oder muss ich auch noch zeigen, dass ?

Zu (c): Bringt vielleicht diese Umformung etwas:

.

Also folgt für die Gleichung:

.

Für folgt schonmal

.

Dann muss ich die noch ausgleichen, das geht mit und :

.

Stimmt das so?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das wäre zum Beispiel ein Kandidat, damit ist ein gesuchter Zwischenkörper .

hat über den Grad 2, also hat dein Minimalpolynom nach Gradsatz den Grad 6, soweit also in Ordnung.

c) Koeffizientenvergleich, also richtig.
 
 
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist nun der gesuchte Zwischenkörper? Ich dachte, ist mein Kandidat, also der Zwischenkörper?
Weil dann hätte ich meinen Beweis ja viel einfacher machen können, oder?

Bei c): Wie kann man hier den Koeffizientenvergleich anwenden, um zu sehen dass es stimmt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die 3 liegt doch bereits in Q.....



Also lassen sich die Ausdrücke auch als schreiben wegen der Abgeschlossenheit von

Koeffizientenvergleich:

Wir haben in den verschiedenen Potenzen von die Ausdrücke:













Diese haben jeweils Koeffizienten, die eine Summe verschiedener (unter Umständen Vielfacher) sind.

Auf der anderen Seite sind fast alle Koeffizienten 0, das führt auf ein LGS in den Koeffizienetne der obigen Ausdrücke.....
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hat es Klick gemacht, vielen lieben Dank für die Hilfe! smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber:










(Hier sieht man nämlich sehr schön den Zwischenkörper) Augenzwinkern

Koeffizientenvergleich liefert das LGS:













.....Und hier sehr schön die Gleichmäßigkeit Augenzwinkern
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das verstehe ich. Ich hab noch eine Frage: Ich hab ja gezeigt, dass . Aber muss man nicht auch noch zeigen, dass , damit ? Oder warum braucht man das nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das von mir aufgeshriebene LGS (edit: Bzw. die Glecihung, die dem vorangeht) zeigt doch ganz eindeutig, dass alle Elemente darstellbar sind als mit

Ein wenig Arbeit ist noch zu leisten, wenn man volle Punktzahl haben möchte.....
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, stimmt. Was muss man denn noch zeigen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast im wesentlichen alles gezeigt, richtig argumentieren musst du noch....

DAs Minimalpolynom habe ich jetzt nicht nachgerechnet, ich würde an die Aufgabe so hernagehen:

Minimalpolynom bestimmen und zeigen, dass es das Minimalpolynom ist, Eisenstein ist eine gute Wahl.....
Damit ist a) bereits erledigt.

Bei b) würde ich erst einmal "Vermuten", dass der gesuchte Zwischenkörper ist und dann zeigen, dass sich alle Elemente von darstellen lassen als mit , also in der Form mit


Dann hat man auch gleich die Gleichung für c), da kann man dann simpel einen Koeffizientenvergleich durchführen und fertig.
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Sich auf die Potenzen von zu beschränken reicht, da diese eine Basis von bilden oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap....
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hab ich jetzt alles verstanden. smile Vielen Dank für die kompetente Hilfe.
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