Ellipsengleichung aus 2 Punkten, Mittelpunkt und Gerade |
| 24.01.2013, 12:06 | Casi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ellipsengleichung aus 2 Punkten, Mittelpunkt und Gerade Hallo ich habe hier eine Aufgabe und weiß nicht wie ich daran gehen soll! Aufgabe: Von einer Ellipse sind folgende Daten bekannt: Koordinaten des Mittelpunkts M, Koordinaten des linken Schnittpunkts P1 der großen Halbachse mit der Ellipse sowie die Koordinaten des Punktes P2 auf der Ellipse. Des Weiteren ist eine Gerade g gegeben, die die y-Achse bei 1,0 schneidet und einen Steigungswinkel von 10 Grad hat. Bestimmen Sie die im Folgenden gefragten Darstellungsformen, Größen und Koordinaten. Geben Sie dabei die Werte aller Koeffizienten, Größen und Koordinaten auf 3 Stellen hinter dem Komma genau an. M(2,5;1) P1(-4,5;1) P2(6,0;3,598) a) Die Hauptform der Ellipse b) Die Brennweite e der Ellipse c) Die Koordinaten der Brennpunkte der Ellipse F1 und F2 d) Die Werte der Koeffizienten A,B,C,D und E der algebraischen Gleichung zweiten Grades Ax²+By²+Cx+Dy+E, die die Ellipse beschreibt e) Die Koordinaten der Schnittpunkte S1 und S2 der Geraden g mit der Ellipse Vielleicht hat ja jemand noch ähnliche Aufgaben da ich hierfür keine Lösung besitze oder gibt es welche im Internet mit Lösungen??? Hoffe mir kann jemand Helfen 
Gruß CasiMeine Ideen: Für die Gleichung dachte ich, dass es mit der(x-xm)²/a²+(y-ym)²/b²=1 geht |
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| 25.01.2013, 01:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei brauchst du Hilfe? Ausser der Angabe und der Gleichung hast du nichts weiter über bereits gemachte Ansätze oder Ideen deinerseits geschrieben, das ist recht wenig. Die von dir angegebene Gleichung ist für eine achsenparallele Ellipse (diese ist aus der Hauptlage parallelverschoben!) richtig. Somit sind zunächst die zwei Halbachsen a und b aus zwei Gleichungen zu ermitteln 1. Was kann aus M und P1 sofort berechnet werden? 2. Wenn man den Punkt P2 in die Ellipsengleichung einsetzt, welche Beziehung ergibt sich dann daraus? _______________________ Wenn a, b bekannt sind, kann e berechnet werden. Zwischen e, a, b besteht eine einfache Beziehung. Wie lautet diese? --------------- Aus der Kenntnis von e (und M) folgt sofort die Lage der Brennpunkte. --------------- A, B, C, D und E gewinnt man durch Ausmultiplikation der Ellipsengleichung. --------------- Die Gleichung der angegebenen Geraden lässt sich aus dem Punkt (1; 0) und der Steigung berechnen. Wie hängt die Steigung mit dem Winkel der Geraden zur (positiven) x-Achse zusammen? --------------- Die Berechnung der Schnittpunkte dürfte letztendlich dann kein Problem mehr darstellen. mY+ |
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| 25.01.2013, 13:16 | casi85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey Danke schonmal für deine Antwort! Das Problem ist ich habe ehrlich gesagt gar keine Ahnung wie ich daran gehen soll deswegen hatte ich auch noch nicht wirklich eine Idee! Ich hätte jetzt erstmal die Ellipsengleichung benutzt und dann folgendes gemacht: Zu P1 (-4,5 - 2,5)²/a² + (1-1)²/b²=1 =(-7)²/a²+(0)²/b² = 1 dadurch fällt b²doch schon raus und ich kann nach a auflösen: erhalte dann für = 5*Wurzel2 zu P2 (6-2,5)²/a² + (3,598-1)²/b²=1 Oder ist mein Ansatz da komplett falsch? Gruße Casi |
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| 25.01.2013, 23:58 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ergebnis für a stimmt nicht. Ohne Rechnung - nur durch Hinsehen - kann a = 7 bestimmt werden, es ist doch einfach nur der waagrechte Abstand MP1. Wie kommst du auf 5*Wurzel(2)? Mir schwant, du hast 49+1 (= 50) gerechnet, das ist aber falsch, denn es wird nicht addiert, sondern multipliziert. Die zweite Gleichung stimmt. Setze dort a ein, dann kann b berechnet werden. mY+ |
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| 26.01.2013, 12:37 | casi85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh stimmt du hast recht da habe ich mich vertan 
Erhalte dann für b = 2,99 bzw -2,99 Brennweite e ist dann e²=a²-b² also wurzel aus (7²-2,99²) =7,61 Koordinaten F1 und F2 da wüsste ich jetzt nicht wie ich weiter machen sollte Formel wäre F1P +F2P = const = 2a Danke für deine Hlfe |
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| 26.01.2013, 16:53 | EasyGoing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Re Die Brennpunkte liegen mit dem Abstand e (der Brennweite) rechts und links vom Mittelpunkt. Da die lange Hauptachse horizontal verläuft kannst y direkt von M übernehmen. Bei mir ist e= 6,325?! |
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| 26.01.2013, 18:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@casi85 e muss kleiner als a sein, daher kann 7,61 nicht stimmen. _____________________ Für die Brennpunkte beachte bitte den Hinweis von EG. Für die anderen noch offenen Punkt: Dazu hast du zu jeder Frage einen Hinweis meinerseits erhalten. Es liegt jetzt an dir, diese zu verwerten und ggf. konkrete Fragen dazu zu stellen. |
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| 26.01.2013, 19:12 | EasyGoing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| @ mYthos Die Koeffizienten sollen ja durch Ausmultiplizieren der Ellipsengleichung bestimmt werden. Ich nehme an von der Ellipsengleichung in allgemeiner Lage. (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b²=1 --> Umformen und Ausmultiplizieren (x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² -1 = 0 (x-x0)²xb² + (y-y0)²xa² -a²b² = 0 Leider bin ich ab hier etwas aufgeschmissen... Ist der Ansatz denn richtig? 
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| 26.01.2013, 21:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@EasyGoing Bist du casi85? Eigentlich erwarte ich von ihm die entsprechende Rückmeldung. Da du als Helfer eingestiegen bist, ist es seltsam, weshalb jetzt von dir die Fragen kommen. Ich wäre schon gern informiert, mit wem ich hier diskutiere, das gebietet doch die Regel der Höflichkeit. _________________ Anmerkung: bzw. treten in dieser Gleichung niemals auf, k.A. wie du darauf kommst. Auch die x bei der Klammer gehören dort nicht hin! mY+ |
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| 26.01.2013, 23:43 | EasyGoing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe stammt von einem Professor einer Hamburger Hochschule. Ich kenne den Fragesteller selbst nicht, kriege die Aufgabe welche Klausurrelevant ist aber auch nur bis zum Aufgabenteil d) hin. Bis hier hin helfe ich auch gerne (deshalb der erste Beitrag) interessiere mich aber auch brennend für d) und e) da die Klausur am 29.1 stattfindet 
Natürlich könnte ich die Frage selbst nochmal im Forum stellen, aber dies wäre dann wohl "doppelt gemoppelt"
Hoffe damit wäre dies geklärt. BG EasyGoing |
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| 27.01.2013, 11:04 | casi85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Haha Jipp! Schreibe die auch am 29.! 
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| 27.01.2013, 11:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nett! Und, was ist mit der Aufgabe? Ich habe doch zu den einzelnen Punkten Tipps gegeben und auch geschrieben, dass der Ansatz nicht richtig ist, weil falsch multipliziert wurde. Alles in Allem sehe zu wenig Interesse an eigener Initiative. Ich bin jetzt unterwegs und erst abends wieder hier. mY+ |
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| 27.01.2013, 13:45 | casi85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schonmal! Also das mit dem desinteresse stimmt nicht! Falls es so rüber kommt tut mir das leid! Das problem an der Sache ist, ich bin Quereinsteiger im Studium und nicht gerade das Mathegenie (wie man an den kleinen Fehlern bemerkt
) deswegen brauche ich auch vielleicht immer bisschen mehr Denkanstöße 
aber ich arbeite dran es zu verbessern!Aber zurück zur Aufgabe: Für die Brennweite hatten wir ja 6,325 heraus Daraus ergibt sich für mich für die Brennpunkte F1(-3,825;1) und F2(8,825;1) Dadurch das ja die Strecke F1M=e ist habe ich einfach 2,5-6,325 genommen und für F2 2,5+6,325 Jetzt geht es darum A,B,C,D und E zu bestimmen. Die Grundformel lautet ja Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 was ja bedeutet, dass wir 5 Unbekannte haben also demnach auch 5 Gleichungen benötigen, die wir a durch unsere 5 Gesamtpunkte jetzt haben. Habe jetzt mit den Punkten M(2,5;1) P1(-4,5;1) P2(6;3,598) F1(-3,825;1) F2(8,825
fünf Gleichungen aufgestellt und erhalte:1. 6,25A + B +2,5C + D + E =0 2. 20,25A + B - 4,5C + D + E = 0 3. 36A + 12,946B + 6C + 3,598D +E = 0 4. 14,63A + B - 3,825C + D + E = 0 5. 77,88A + B + 8,825C + D + E =0 ----------------------------------------------------- 1. - 2. = -14A + 7C = 0 4. - 5. = -63,25A - 12,65C = 0 ---------------------------------------------------- Dadurch, dass ich aber immer eine 0 auf der rechten Seite habe bekomme ich auch für A C usw. 0 das ist doch nicht richtig oder? Habe das jetzt schon ein paar mal probiert immer ohne Ergebnis! Oder muss ich doch die Ellipsengleichung nehmen? Aber da habe ich ja schon alles gegeben! Gruß |
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| 28.01.2013, 01:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weshalb diese Umstände, das brauchst du doch alles nicht! Wenn du bereits a, b und die Koordinaten (m; n) des Mittelpunktes hast, expandiere doch einfach die Gleichung
Wer lesen kann, ist klar im Vorteil! mY+ |
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| 28.01.2013, 12:03 | casi85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso ja stimmt
Danke! Auch wenn es eine schwierige Geburt war, glaube ich habe ich das Ergebnis
Habe dann 8,94x²+49y²-44,7x-98y-334,06=0 heraus. Also damit mein A=8,94 B=49 C=-44,7 D=-98 und E=-334,06 Um den Schnittpunkt dann mit der Gerade zu finden, muss ich die Geradengleichung in die Ellipsengleichung einsetzen. g: y=tan(10)*x+1 Hab das dann in die Gleichung eingesetzt: 2,99²(x-2,5)²+7²((tan(10)*x+1)-1)²=2,99²+7² Aufgelöst nach x erhalte ich: x1=-4,274 und x2=8,546 Y ausgerechnet: y1=0,246 und y2=2,507 Damit ist mein S1=(-4,274;0,246) S2=(8,546;2,507) Ich hoffe es stimmt und die Aufgabe wurde bezwungen
Danke nochmal für deine Hilfe
Gruß |
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| 28.01.2013, 21:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es stimmt so weit. Etwas genauer hättest du rechnen können, denn tatsächlich ist b = 2.999912, somit kann es ohne Weiteres b = 3 gestezt werden. Die Ellipsengleichung lautet somit Bei den Schnittpunkten gibt es demzufolge ebenfalls kleine Abweichungen. mY+ |
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