Multiplizieren von 3 Matrizen

25.01.2013, 11:17

maho12

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Multiplizieren von 3 Matrizen

Meine Frage:
Hallo.

Ich sitze schon ewig vor folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie eine untere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} B\in \mathbb R ^{4,4} \end{eqnarray*}$ und eine obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} C\in \mathbb R ^{3,3} \end{eqnarray*}$ , sodass BAC=D gilt, wobei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 4 & 10 \\ 4 & 5 & 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ seien.

Meine Ideen:
Also mir ist bewusst, dass B eine 4x4 Matrix mit der Form $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} ? & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & ? & ? \\ 0 & 0 & 0 & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und C eine 3x3 Matrix mit der Form $\begin{eqnarray*} C= \begin{pmatrix} ? & 0 & 0 \\ ? & ? & 0 \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein muss.

Mein Problem ist jetzt, das ich nicht weiß, wie ich auf die anderen Zahlen kommen kann.

Wäre nett, wenn mir jmd helfen könnte.
Danke schonmal.

25.01.2013, 12:06

Mystic

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Meiner Meinung nach hast du, was die Dreiecksmatrizen betrifft, da "unten" und "oben" vertauscht... geschockt

geschockt

25.01.2013, 12:12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Die Matrix B beschreibt die Zeilenumformungen, die du bei Durchführung des Gauß-Algorithmus machst.
Am einfachsten bekommst du sie, wenn du die Einheitsmatrix (links) neben die Matrix A schreibst, und alle Umformungen auch in der Einheitmatrix durchführst. Ganz ähnlich, wie man bei Berechnung der Inversen einer quadratischen Matrix vorgeht.
Dann hast du A in Zeilenstufenform. Um daraus D zu erhalten, musst du noch Spaltenumformungen machen. Die stehen dann in C.

25.01.2013, 16:54

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Ok, danke. Ich werd's versuchen ... Würde mich dann nochmal melden. smile

smile

25.01.2013, 17:15

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Also irgendwie geht das doch gar nicht.
Wenn ich links die Einheitsmatrix schreibe und rechts A habe, dann nehme ich die Rechenoperationen damit A in Stufenform ist. Aber da "verbau" ich mir doch mein B bzw. die Form die es annehmen soll ...

Hoffe es ist verständlich was ich meine.

Ok ... ich glaube ich hatte einen Denkfehler. Sorry. smile

smile

25.01.2013, 17:54

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Also bei der Matrix von C hängts.
Meine A Matrix sieht jetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich damit noch eine Spaltenumformung machen?

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25.01.2013, 18:00

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Das sieht gut aus Freude

Freude

Was hast du für B heraus?

Für C geht's jetzt ganz analog weiter: Schreib dir die 3x3 Einheitsmatrix unter dein neues A, das übrigens besser A' heißen sollte - und mache Spaltenumformungen, die dich zum gegebenen D führen. Also z.B. 2.Spalte - 2x1.Spalte.
Jede Umformungen machst du genauso in der Einheitsmatrix. Wenn du oben D hast, steht unten C

25.01.2013, 18:06

lgrizu

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Das sollte doch nur der erste Schritt sein.

Jede Matrix ist als Produkt von Elementarmtrizen darstellbar, das nutzt man hier aus.

Jede Zeilenumformung ist durch Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix zu bewerkstelligen.

Nehmen wir einmal deine Matrix, der erste Schritt sollte sein, das (-2)-fache der ersten Zeile zur zweiten zu addieren, dieses ist die Multiplikation von links mit der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog ist die Addition des -3-fachen der ersten Zeile zur dritten durch Multiplikation von links mit der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\-3&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

usw....

Das alles sind erst mal untere Dreicksmatrizen und die Produkte unterer Dreicksmatrizen ist wieder eine untere Dreiecksmatrix.

Das ganze machst du so lange, bis du A als obere Dreicksmatrix vorliegen hast.

Danach beginnst du mit Spaltenumformungen, das entspricht der Multiplikation von rechts mit Elementarmatrizen (oder du nimmst die Zeilenumformungen der Transponierten)

So, jetzt kannst du mal versuchen, das in Einheit mit URL s Tip zu bringen.....

Edit: Mist, zu lange gebraucht um das zu schreiben, ich lasse es dennoch stehen.......

25.01.2013, 18:19

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Na da hoffen wir mal, das die Ergebnisse auch gut aussehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, ich habe jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 1 & 0 \\ -4 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Kurz noch eine Frage: Wenn ich die Matrix für X bestimmen soll (A und E ist bekannt), damit XA=E ist, kann ich dann Gleichungen aufstellen und die dann "lösen"?)

P.S.: Trotzdem danke lgrizu. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2013, 18:27

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
C passt, bei B habe ich an den rot markierten Einträgen andere Werte.

Zitat:

Original von maho12
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ {\color{red}-3} & -2 & 1 & 0 \\ {\color{red}-4} & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Probe kannst natürlich B*A*C=D überprüfen.

25.01.2013, 18:37

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Oh, hast recht.
Bei -3 muss eine 1 hin und bei -4 eine 2. Richtig?

25.01.2013, 18:48

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Freude

Freude

25.01.2013, 19:02

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Danke dir. smile

smile

Zitat:

Original von maho12
(Kurz noch eine Frage: Wenn ich die Matrix für X bestimmen soll (A und E ist bekannt), damit XA=E ist, kann ich dann Gleichungen aufstellen und die dann "lösen"?)

Stimmt das, dass man das so machen kann?

25.01.2013, 19:05

URL

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Hoppla, da ist ja noch was

Zitat:

Original von maho12
(Kurz noch eine Frage: Wenn ich die Matrix für X bestimmen soll (A und E ist bekannt), damit XA=E ist, kann ich dann Gleichungen aufstellen und die dann "lösen"?)

Ich gehe mal davon aus, dass E die Einheitsmatrix und A eine quadratische Matrix ist. Dann kannst du es machen wie vorgeschlagen. Geht aber auch analog zum gerade gemachten:
Du schreibst E neben A und machst Zeilenumformungen. Wenn A zu E geworden ist, dann daneben X.

25.01.2013, 19:15

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
smile

smile

Also X ist eine 2x3 Matrix und A eine 3x2 Matrix. Ja, E ist eine 2x2 Einheitsmatrix.
Dementsprechend geht das mit den Gleichungen dann nicht ...

26.01.2013, 08:57

lgrizu

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Wieso soll das nicht gehen?

Du kannst selbstredend ein LGS aufstellen, du hast dann 4 Gleichungen und 6 Unbekannte, das kann man dann lösen.

26.01.2013, 11:15

URL

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Doch das geht schon.
Aber für die Inverse einer 3x2 Matrix gibt's ja schon einen eigenen Thread.

26.01.2013, 11:23

maho12

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Ok.
Viele Dank euch beiden.

Wünsch euch noch ein schönes Wochenende.

26.01.2013, 12:20

lgrizu

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen

Zitat:

Original von URL
Aber für die Inverse einer 3x2 Matrix gibt's ja schon einen eigenen Thread.

Wie invertiert man denn nicht-quadratische Matrizen? verwirrt

verwirrt

Leider nicht möglich unglücklich

unglücklich

Man könnte mit viel Wohlwollen und entsprchender Ungenauigkeit hier sagen, dass Linksinverse und Rechtsinverse existieren, die aber nicht gleich sind, was der Eindeutigkeit der Inversen widerspricht.

26.01.2013, 13:17

URL

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Genau um die Linksinverse geht es in dem Thread.
Die von dir natürlich korrekt festgestellte Ungenauigkeit habe ich mal stillschweigend hingenommen.

26.01.2013, 15:19

lgrizu

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
@ URL

Für die Zukunft: Kannst ja den Link zu dem jeweiligen Thread kurz noch angeben - habe jetzt ein wenig gesucht und bin dann fündig geworden - , das vereinfacht die Sache etwas. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.01.2013, 17:42

URL

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
@lgrizu: Das habe ich schon probiert, darf ich aber nicht:
"Dein Posting beinhaltet eine URL. URLs dürfen aber nur registrierte User posten. Entferne also die URL aus deinem Post"

Wobei mein Posting natürlich immer URL enthält Big Laugh

Big Laugh

Deswegen habe ich im Post vorhin den vollständigen Titel des Threads genannt, damit man ihn leichter findet. Hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen.

26.01.2013, 17:49

lgrizu

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
@URL

Was hindert dich denn als fleißiges Helferlein, dich zu registrieren? Dann könnte ein solcher Austausch auch über PN erfolgen....

27.01.2013, 23:25

URL

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RE: Multiplizieren von 3 Matrizen
Ich bin schüchtern Ups

Ups

Augenzwinkern

Außerdem müsste ich dann wieder mit frustierenden Null Beiträgen anfangen Big Laugh

Big Laugh

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