Determinante. Skalar oder Funktion?

26.01.2013, 15:07

1=0!

Auf diesen Beitrag antworten »

Determinante. Skalar oder Funktion?

Hallo Leute,

Ganz kurze Frage: Wenn man von einer Determinante spricht, so müsste es sich doch um den Skalar handeln der bei der Abbildung entsteht. Wenn man von der Funktion spricht so nennt man diese Determinantenfunktion.

Jetzt lese ich im Internet aber auch, z Bsp. auf wikipedia die Determinante ist eine Funktion und auf anderen Seiten, man berechnet die Determinante(->Determinante ist ein Skalar)

Da im Internet diesbezüglich Widersprüche herrschen, will ich hier nochmal nachfragen.

26.01.2013, 16:09

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Determinante. Skalar oder Funktion?
Worin genau siehst du da einen Widerspruch? verwirrt

verwirrt

Die Determinante ist ein Skalar, das ist richtig.

26.01.2013, 16:17

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Determinante ist kein Vektor und keine Matrix. Enthält sie nur Zahlen, dann ist es nur eine Schreibfigur für eine Zahl.
--> Skalar

Eine Determinante die Variable enthält ist ein Term in diesen Variablen.
Man könnte die Det. auch als Funktionsvorschrift wenn man es so sehen will:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 9 & y & 3 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auch eine Funktion

26.01.2013, 16:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal die Definition für eine Determinatenfunktion:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, dann ist $\begin{eqnarray*} f: V \to K \end{eqnarray*}$ eine Determinatenfunktion, wenn sie multilinear und alternierend ist.

Das ist Vereinbar mit der (speziellen) Determinate einer nxn Matrix, die ebenfalls eine Funktion von einem Vektorraum in den Körper darstellt. Der Funktionswert, der für eine spezielle Matrix angenommen wird ist ein Skalar in dem Körper K.

Bedeutet summa summarum: es ist kein unauflösbarer Widerspruch, sondern eine Einheit (von Gegensätzen) aus den beiden Seiten Skalar oder Funktion.

Ein Hoch auf dialektische Betrachtungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.01.2013, 16:37

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, dann ist $\begin{eqnarray*} f: V \to K \end{eqnarray*}$ eine Determinatenfunktion, wenn sie multilinear und alternierend ist.

$\begin{eqnarray*} f: V^n \to K \end{eqnarray*}$ meintest du bestimmt. wenn man eine solche funktion entsprechend normiert, d.h. $\begin{eqnarray*} det(I) =1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} det(e_1 , ... , e_n) = 1 \end{eqnarray*}$ so hat man die handelsübliche determinante die man aus lina1 kennt.
nochmal zur ursprünglichen frage: die det. ist eine skalarwertige funktion - zu sowas sagt man auch manchmal einfach skalar - diese bezeichnung wird konsistent wenn man sich "übliche" skalare (also körperelemente oder einfach zahlen) einfach als konstante (skalarwertige) funktionen vorstellt. aber hauptsächlich ist die bezeichnung nur dazu da um studienanfänger zu verwirren Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg

26.01.2013, 16:39

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weisbrot

$\begin{eqnarray*} f: V^n \to K \end{eqnarray*}$ meintest du bestimmt.

Jap, den Exponenten habe ich in einem anderen Thread verloren und bisher noch nicht wieder gefunden Big Laugh

Big Laugh

Ist natürlich richtig.....

Anzeige

26.01.2013, 17:21

1=0!

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß schon, was eine Determinante ist und habe mit ihr auch keine Probleme,
es geht nur um begriffliche Schwierigkeiten

Math1986 und Dopap haben beide geschrieben, dass es sich dabei um einen Skalar(bzw. Term) handelt, also dass die Determinante der Funktionswert der Determinantenfunktion ist.

lgrizu und weisbrot bezeichnen mit der Determinante, aber die Determinantenfunktion und das Ergebnis ist halt einfach irgendein Skalar/Term.

Funktion und Skalar kann die Determinanten nicht sein, da ein Körperelement und eine Funktion grundlegend verschieden sind.

Deswegen hat mir der Beitrag noch kein bisschen geholfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.01.2013, 17:23

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

weisbrots Beitrag bringt es doch eigentlich auf den Punkt. Genauso werden doch zum Beispiel bei der Quadratwurzel die Funktion und ihre Werte sprachlich vermischt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.01.2013, 17:26

1=0!

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn die Antwort auf die Multiple Choice Frage:

Was ist eine Determinante?
a) Ein Skalar b) eine Funktion

26.01.2013, 18:00

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Skalar

26.01.2013, 18:02

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

die determinante ist auf jeden fall eine funktion, und wird nur in dem von mir angesprochenen "engeren sinne" als skalar bezeichnet. gäbe es also genau eine antwort dann wäre die hier natürlich "funktion".
lg

edit: @math1986: whup geschockt

geschockt

26.01.2013, 18:06

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Sowohl als auch ist meine Ansicht, denn die Determinate an sich ist eine Funktion, der Wert der Determinate ein Skalar...

26.01.2013, 18:13

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
... denn die Determinate an sich ist eine Funktion ....

das ist eben ein sehr laxer Umgang mit dem Wort Funktion. Es fehlt Definitionsmenge und Kenntlichmachung der Funktionsvorschrift. ( siehe oben )

26.01.2013, 18:17

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weisbrot
die determinante ist auf jeden fall eine funktion, und wird nur in dem von mir angesprochenen "engeren sinne" als skalar bezeichnet. gäbe es also genau eine antwort dann wäre die hier natürlich "funktion".

Kommt drauf an... Wenn ich von der "Determinante einer Matrix" rede, dann meine ich damit das Skalar, nicht die Funktion. Ansonsten müssten alle Aufgabenstellungen der Form "Berechnen Sie die Determinante der Matrix A" neu geschrieben werden.

26.01.2013, 18:29

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn man sagt "berechne die det. von A" meint man "berechne den wert der det. von A", also den wert der funktion. was gibt es sonst für mathematische konzepte nach denen hier gefragt sein sollte?

@dopap: natürlich ist die determinante nicht EINE funktion, für jeden vektorraum ist es eine andere. wenn man sagt "die determinante", dann soll eben aus dem kontext hervorgehen "welche" det. das ist. und die vorschrift ist doch wohl immer gleich/äquivalent.

lg

26.01.2013, 18:48

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von lgrizu
... denn die Determinate an sich ist eine Funktion ....

das ist eben ein sehr laxer Umgang mit dem Wort Funktion. Es fehlt Definitionsmenge und Kenntlichmachung der Funktionsvorschrift. ( siehe oben )

Als Ergänzung zu Weissbrot:

Es fehlte keinesfalls die Definitionsmenge, und nicht jede Funktion hat eine Vorschrift, die sie bildet, das ist ausschließlich in der Schule so, ich kann ohne weiteres durch eine Funktion auch Element der Definitionsmenge "scheinbar willkürlich" in die Zielmenge abbilden, aber auch daran (an der Funktionsvorschrift) hapert es bei der Determinatenbildung nicht.

Zur untermalung noch einmal folgendes Zitat von mir (bzw. die Verbesserung von Weissbrot):

Zitat:

Erst einmal die Definition für eine Determinatenfunktion:

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, dann ist $\begin{eqnarray*} f: V^n \to K \end{eqnarray*}$ eine Determinatenfunktion, wenn sie multilinear und alternierend ist.

Das ist Vereinbar mit der (speziellen) Determinate einer nxn Matrix, die ebenfalls eine Funktion von einem Vektorraum in den Körper darstellt. Der Funktionswert, der für eine spezielle Matrix angenommen wird ist ein Skalar in dem Körper K.

26.01.2013, 18:53

1=0!

Auf diesen Beitrag antworten »

Um noch mehr Verwirrung zu stiften:

Im Wahr/Falsch-Teil vom LA-Buch von Albrecht Beutelspacher steht in den Lösungen:

Die Determinante einer nxn Matrix ist ein
Körperelement (wahr)
eine Abbildung(falsch)
...(andere unsinnige Aussagen->falsch)

26.01.2013, 19:05

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Bosch- Lineare Algebra unter Beispiele für Determinatenfunktionen:

$\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit der "üblichen" Detreminante.

Ebenso im Anton:

Zitat
Definition: Sei A eine quadratische Matrix. Wir bezeichnen die Determinatenfunktion mit det, wobei wir det(A) als Summe aller vorzeichenbehafteten elementaren Produkte aus A definieren. Den so berechneten Funktionswert nennen wir Determinate von A. Zitat

Ebenso die Definition der Determinate über die Funktionsvorschrift (u.a. Rep LA):

$\begin{eqnarray*} det(A):=\sum_{j=1}^n(-1)^{j+i} \cdot a_{1j} \cdot det(A_{1j}) \end{eqnarray*}$ , das auch noch mal zu Funktionsvorschrift...

26.01.2013, 19:12

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
Ebenso im Anton:

Zitat
Definition: Sei A eine quadratische Matrix. Wir bezeichnen die Determinatenfunktion mit det, wobei wir det(A) als Summe aller vorzeichenbehafteten elementaren Produkte aus A definieren. Den so berechneten Funktionswert nennen wir Determinate von A. Zitat

Danke, das untermauert meinen Standpunkt, dass die Determinante ein Skalar ist.

26.01.2013, 19:14

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Determinante einer nxn Matrix ist ein [...]

das heißt die determinante (funktion) VON der matrix, also ausgewertet an dieser, also ihr wert - das ist ein skalar.
aber das ist schon wirklich ziemliches klein klein mmn.
lg

26.01.2013, 19:14

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal meinen standpunkt:

Zitat:

Original von lgrizu
Sowohl als auch ist meine Ansicht, denn die Determinate an sich ist eine Funktion, der Wert der Determinate ein Skalar...

@Math:
Ich habe nie behauptet, dass dem nicht so ist, wie gesagt, ich denke ein "sowohl als auch" ist hier angebracht, was in der Mathematik (und auch in jedem anderen wissenschaftlichen Bereich) auch nichts unübliches ist....

26.01.2013, 19:17

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
@Math:
Ich habe nie behauptet, dass dem nicht so ist, wie gesagt, ich denke ein "sowohl als auch" ist hier angebracht, was in der Mathematik auch nichts unübliches ist....

Mein Einwand richtete sich an weisbrot, ich habe dein Zitat nur als Beleg genommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.01.2013, 19:18

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weis schon was eine Determinantenentwicklung ist. Eine Det. könnte doch auch solo stehen:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z \to \mathbb N: x \mapsto \begin{vmatrix} 3 & x \\ -x & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so stell ich mir eine simple Determinantenfunktion vor.

26.01.2013, 19:29

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dopap:

Deine Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+12 \end{eqnarray*}$ , ausgerechnet mit der Determinatenfunktion....

Das ist eine Parabel, eine etwas unübliche Darstellung, aber nun gut.....

Eine einfache Determinatenfunktion ist zum Beispiel die Bilinearform:

$\begin{eqnarray*} f(\vec{v})=\vec{v}^t \cdot A \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

26.01.2013, 19:36

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht jede Bilinearform ist eine Determinantenfunktion. Und die von dopap angegebene Funktion, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definiert ist, sicher auch nicht.

26.01.2013, 20:19

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

@math: die determinante ist genauso ein skalar wie die quadratwurzel eine reelle zahl ist.
wenn einem das ganze nicht geheuer ist kann man auch einfach "..."-funktion sagen, wenn man die funktion meint. mmn geht diese ganze diskussion eh nur um sprechweisen, ich denke damit sollte man sich nicht zuviel aufhalten.
lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »