Kurvendiskussion einer e-Funktion

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Leonessa454 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion einer e-Funktion
Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier ein paar Aufgaben, die mir Schwierigkeiten bereiten. Es wäre wirklich nett, wenn ihr mir helfen würdet.

1. Berechne die Nullstellen der Funktion f und die Stellen, an denen der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente besitzt. Funktion f(x)=(x^2-3)*e^-x

2. Ermitteln der Koordinaten der Hoch-und Tiefpunkte.

3. Gib das Verhalten der Funktion f für sehr kleine bzw. sehr große Werte von x an.

4. Berechne den Inhalt der Fläche, die von dem Grapgen der Funktion f und der x-Achse im III. und IV. eingeschlossen ist.

5. A(u) sei der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von der Geraden x=u, dem Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen wird. Erstelle eine Skizze für den Sachverhalt und zeige:
A(u)=(-u^2-2u+1)*e^-u+12(1+\sqrt{3}*e^{-\sqrt{3} } .
Bestimme das Verhalten von A(u) für sehr große Werte von u.



Meine Ideen:
Zu einigen Aufgaben habe ich die Lösungen, allerdings weiß ich nicht, ob ich es richtig gemacht habe:

1.: f'(x)= (2x-x^2+3)*e^-x
f"(x)= (x^2-4x-1)*e^-x

Nullstellen:
f(x)=(x^2-3)*e^-x =0

SVNP
e^-x=0 oder -x^2+2x+3 =0
TR.: x1=3 x2=-1

2.: Extremwerte:
f'(x)=0
f'(x)= (2x-x^2+3)*e^-x = 0
e^-x \neq 0
2x-x^2+3=0
f"(3)= (3^2-4*3-1)*e^-3 = -0,2 \leq 0\Rightarrow HP
f"(-1)= ((-1)^2-4*(-1)-1)*e^1 = 10,8\geq 0 \Rightarrow TP
f(3)=(3^2-3)*e^-3=0,3
HP (3/0,3)

3. ?

4.: \int_4^3 \! f(x) \, dx = -0,3

5. ?

Die Aufgaben mit Fragezeichen, weiß ich nicht, was ich da rechnen soll.
Kann jemand helfen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nullstellen der Funktion fehlen, die Ableitungen und die x-Werte der Stellen mit waagerechter Tangente sind richtig berechnet, allerdings fehlen noch die y-Werte.

2. Die Extrempunkte sind die selben Punkte, an denen es eine waagerechte Tangente gibt. Diese sind auf Hoch oder Tiefpunkt zu prüfen. Das stimmt soweit hätte aber nicht nochmal neu berechnet werden müssen.

3. Hier ist das Verhalten im unendlichem gesucht. Du setzt riesengroße Werte für x ein und sehr kleine Werte für x. Das könntest du auch mit dem TR machen, oder dir entsprechende Gedanken machen.

4. Deine Fläche im III und IV Quadranten ist falsch berechnet. Wie lauten überhaupt unserer Grenzen über denen integriert wird?

5. Hast du dir schon eine Skizze gemacht?

Wenn du die Formeln so aufschreibst, dann musst du diese später markieren und auf das f(x)-Symbol klicken.
smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht die Nullstellen der Funktion berechnet, sondern die der 1. Ableitung, also die Extremstellen. Allerdings brauchst du diese ja auch.



2.
Wo ist der Tiefpunkt?

3.
- Grenzwert bei x gegen +/- Unendlich
- Funktionswert bei x = 0

4.
Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen

5.
Die Menge, aus der u kommt, muss definiert werden. Bei der Fläche fehlt die Information, ob sie oberhalb oder auch unterhalb der x - Achse liegen kann.

mY+
Leonessa464 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nullstellen der Funktion fehlen, die Ableitungen und die x-Werte der Stellen mit waagerechter Tangente sind richtig berechnet, allerdings fehlen noch die y-Werte.

Die Nullstellen sind x1=3 und x2=-1

y-Werte:
= 8,85
=7,15

3.:
Das ist das Globalverhalten, oder? Was heit denn genau "sehr große"? Bis 100? 1000?
Z.B.: -5
= -420
Z.B.: 100
= 10000

4.: Unter dem Integralzeichen steht immer die untere Grenze, darüber die obere Grenze. Die eckigen Klammern bedeuten: Intervall in den Grenzen von a bis b.
Das habe ich ja berechnet verwirrt

5.: Nein, ich habe noch keine Skizze gemacht. Ich weiß auch nicht, wie.


mYthos: Der TP ist auf deiner SKizze bei (-2/-5) verwirrt

Die Menge, aus der u kommt, muss definiert werden. Bei der Fläche fehlt die Information, ob sie oberhalb oder auch unterhalb der x - Achse liegen kann.

Was meinst du damit? Die Information steht in meiner Aufgabenstellung nicht.
Leonessa467 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und bekomme folgende Extremwerte heraus:

f"(1,73) = -0,87 HP
f"(-1,73) = 50,3 TP

Kann das stimmen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst irgendwie Nullstellen und Extremstellen zu vertauschen.
Die Nullstellen sind später auch unsere Grenzen für das Integral.

Zum Verhalten im unendlichen hilft dir das einsetzen "großer" oder "kleiner" Zahlen. Ein Gefühl dafür zu bekommen ob du richtig liegst. Im Idealfall erschließt du dir die Lösung logisch.

Eine große Zahl wäre z.B. 1.000.000
und eine kleine Zahl z.B. -1.000.000

Du setzt diese Zahl ein und vielleicht noch ein paar weitere und kannst dann eine Vermutung äußern, oder du machst dir, wie gesagt, entsprechende Gedanken was passiert wenn du eine unendlich große oder kleine Zahl einsetzt.
 
 
Leonessa468 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wieso sind die Nullstellen die Grenzwerte des Integrals? Muss man da nicht die Quadranten eintragen?

Ich habe nun alles von vorne gerechnet.

1:

Nullstellen:
SVNP
= 0
TR.: x1= , x2= -

Waagerechte Tangente:
f'(x)= =0
SVNP
=0 oder =0
TR.: x1= 3, x2=-1

y-Wert:
f(3)=2,9
f(-1)=-5,4

2:
EW:
f'(x)=0
x1= 3, x2=-1

Art der EW:
f"(3)=-0,2 HP
f"(-1)= 10,87 TP

3.:
f(1000000)= Error
f(-1000000)= Error

4.:
F(x)=
A= = 0,27

5. ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

1. und 2. soweit richtig

3.
Den TR mit großen oder negativen Zahlen zu füttern, kann durchaus zu Fehlern führen und das solltest du ja auch nicht tun!
Schaue dir doch an, wie sich der Graph verhält, wenn man ganz weit nach links oder rechts geht. Und das ist es auch schon.

4.
Die Flächen in III und IV sind zusammenhängend und beide unterhalb der x-Achse. Daher kann diese durch Integration - wie dir bereits gesagt - zwischen den beiden Nullstellen der Funktion ermittelt werden. Stattdessen integrierst du von 4 bis 3, weshalb?

5.
Die Fläche im 1. Quadranten beginnt ab der rechten Nullstelle, daher muss u größer als diese sein.
Wenn man mit u weit nach rechts geht, wird die Fläche voraussichtlich dennoch einen endlichen Grenzwert haben, denn der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse an. Den Grenzwert kannst du mittels Grenzwertbestimmung aus der allgemeinen (durch u ausgedrückten) Fläche bestimmen.

mY+
Leonessa469 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Schaue dir doch an, wie sich der Graph verhält, wenn ganz weit nach links oder rechts geht. Und das ist es auch schon.


f(1000000) =
f(-1000000) = -

Zitat:
Die Flächen in III und IV sind zusammenhängend und beide unterhalb der x-Achse. Daher kann diese durch Integration - wie dir bereits gesagt - zwischen den beiden Nullstellen der Funktion ermittelt werden. Stattdessen integrierst du von 4 bis 3, weshalb?

Ich habe das bisher so in der Schule gelernt, dass man die Quantranten integriert.

Also die Nullstellen?
A = = 7,53
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leonessa469
...
f(1000000) =
f(-1000000) = -
...

Stimmt beides nicht. Du musst nachsehen, wohin die y-Werte (Funktionswerte) gehen, wenn x gegen + oder - Unendlich geht.
Und: Was habe ich dir über das asymptotische Verhalten des Graphen für x gegen + Unendlich erzählt?

Zitat:
Original von Leonessa469
...
Also die Nullstellen?
A = = ...

So ist es. Die Fläche dann absolut nehmen, falls sie negativ ist.

Zitat:
Original von Leonessa469
...
Also die Nullstellen?
A = ... 7,53

Nein, rechne nochmals nach! Oder schreibe, WIE du es gerechnet hast, es wird ein Fehler dabei sein.

mY+
Leonessa470 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, rechne nochmals nach! Oder schreibe, WIE du es gerechnet hast, es wird ein Fehler dabei sein.

Ich habe die Stammfunktion genommen. Und es genau so im TR eingetippt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich auch, mit einem CAS und das liefert mir rd. 9,24 FE.
Leonessa471 Auf diesen Beitrag antworten »

komisch. Ich habe einen Casio und bekomme immer 7,5 raus
Leonessa472 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht tippe ich es falsch ab?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt sicher nicht auf den Typ des TR an, wenn man ihn vielleicht nicht richtig bedient. Offensichtlich machst du dabei einen Fehler.



Beim "Kästchenzählen" kriegt man auch schon mehr als 7,5 FE zusammen ...

So, und nun lassen wir noch eine andere kompetente Stelle zu Wort bzw. Bild kommen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...%29*exp%28-x%29

[attach]28242[/attach]

mY+
Leonessa473 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erkläre mal, wie ich es eintippe:

Also eben auf das Intergralzeichen drücken:
Im oberen Kästchen gebe ich ein und im unteren - . Dann gebe ich es exakt so ein:
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Und, da haben wir schon den Fehler! Ich denke, dass dir Klammerregeln bzw. die Priorität der Rechenoperationen bekannt sind oder sein sollten Big Laugh



mY+
Leonessa474 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber selbst wenn ich das so eintippe

bekomme ich 7,5 raus...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst auch NICHT integrieren, sondern immer noch !!

mY+
Leonessa475 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich brauche doch für das Integral die Stammfunktion?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der TR das bestimmte Integral selbst berechnen kann, wirst du doch nicht die Stammfunktion, sondern die ursprünglich gegebene Funktion einzusetzen haben (!)
Leonessa476 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay. Danke
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