Abbildungsmatrix, Ebenengleichung

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26.01.2013, 22:17	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix, Ebenengleichung Hi! Ich möchte die folgende Aufgabe lösen: Sei r: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \longrightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ eine Spiegelung bezüglich der Ebene E: $\begin{eqnarray} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Was ist die Matrix von r bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} (v_{1},v_{2},n) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (v_{1},v_{2}) \end{eqnarray}$ eine Basis von E ist und n = (1,1,1)^T? Zuerst würde ich einfach gerne wissen, wie ich Basisvektoren dieser Ebene bestimmen kann.. ich habe einfach zwei Vektoren ausgewählt, deren Koordinaten die obige Gleichung erfüllen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt? Danke -A
26.01.2013, 22:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Eine Basis von E ist durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene gegeben. Deine beiden Vektoren sind jedoch Ortsvektoren zu Punkten der Ebene. mY+
26.01.2013, 23:01	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah so...also wenn ich dich richtig verstehe, sollte ich zuerst den Normalenvektor der Ebene bestimmten - welcher mMn (1,1,1) wäre - und dann zwei Vektoren deren Skalarprodukt mit (1,1,1) Null ergibt und welche linear unabhängig voneinander sind?
26.01.2013, 23:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Du kannst auch in der Ebene drei (einfache) Punkte A, B, C (nicht auf einer Geraden) annehmen und dann z. B. die Vektoren AB und AC bestimmen. mY+
26.01.2013, 23:50	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin etwas verwirrt. Wenn ich meinen Weg einschlage, dass heisst das Skalarprodukt des Normalenvektors mit einem unbestimmen Vektor gleich Null setze: (1,1,1)*(x_1,x_2,x_3) = 0 bin ich ja genau so weit wie vorher, da ich wieder die Gleichung x_1 + x_2 + x_3 = 0 erhalte...?
27.01.2013, 00:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch die Freiheit, 2 von den 3 Komponenten des Richtungsvektors beliebig zu wählen! Z.B.: (u1; u2; u3) = (2; -1; u3) --> (2; -1; u3) * (1; 1; 1) = 0 --> u3 = - 1 und (v1, v2; v3) = (0; 1; v3) --> (0; 1; v3) * (1, 1; 1) = 0 --> v3 = ...
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27.01.2013, 00:11	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, schon klar, aber das galt ja bereits für die oben von mir angegebenen Vektoren...
27.01.2013, 00:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
HAR! Ja, jetzt ist es klar, WARUM das nur(!) in diesem Fall funktioniert! Die Ebene geht durch den Nullpunkt und daher ist jeder Ortsvektor gleichzeitig auch ein Richtungsvektor! Dir ist aber hoffentlich klar, dass es bei Ebenen, die NICHT durch den Nullpunkt gehen (und daher noch eine Konstante beinhalten) nicht einfach mit dem Einsetzen in die Ebenengleichung getan ist. Dann ist auf jeden Fall mit der Normalitätsbedingung - wie beschrieben - zu rechnen oder eben mit den drei gewählten Punkten. mY+
27.01.2013, 01:20	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, rechnerisch ist mir klar dass dann diese zwei Methoden nicht mehr übereinstimmen würden. Wie könnte man nun weiter eine Spiegelung an dieser Ebene beschreiben?
28.01.2013, 01:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss ich mir erst ansehen - falls nicht vielleicht jemand anderer etwas dazu sagen kann. Ich wollte dir in erster Linie deine Frage nach der Basis von E beantworten. Im Moment zeitlich ziemlich verhindert, erst morgen nachmittag ... mY+ [Bitte nicht pushen bzw. spammen, diese Beiträge werden eliminiert]

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