Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

16.02.2007, 16:35

Dr. Logik

Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Hallo zusammen!

Ich bereite mich gerade auf meine Analysis I Klausur vor und versuche die Taylorreihen zu verstehen. Habe es jetzt an einem Beispiel versucht und würde gern wissen, ob meine Überlegungen so stimmen.

Also die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \dfrac{x^2+2x-3}{x^2-x-12} \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte nun dazu eine Taylorreihe um den Punkt 0 entwickeln.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \dfrac{x^2+2x-3}{x^2-x-12} = \dfrac{x-1}{x-4} \end{eqnarray*}$

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -3(x-4)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6(x-4)^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-18 (x-4)^{-4} \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}=(-1)^n3n!(x-4)^{-n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich das in die Taylorformel eingesetzt und hab zunächst erhalten:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das mit einem Algebra-Programm überprüft, erhalte aber, dass meine Taylorreihe um 1 nach unten versetzt ist. Daraufhin habe ich bemerkt, dass die Taylorreihe für n=0 so nicht stimmt. Darf man dann einfach die Taylorreihe so formulieren:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= 1+ \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Dann müsste es stimmen. Aber was bedeutet das dann für den Konvergenzradius? Der dürfte sich ja eigentlich nicht ändern, wenn man da einen Summanden 1 einfügt oder? Auf jedenfall erhalte ich dann für den Konvergenzradius R=4.

Probleme bereitet mir nun vor allem die Restgliedabschätzung.

Mein Ansatz ist folgender: Die allgemeine Formel für die Restgliedabschätzung lautet ja:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,x_0)(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$ (Lagrange'sche Darstellung)

Ich setze nun ein. Da der Konvergenzradius=4 ist, nehme ich |x|<4:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,0)(x)=\dfrac{3(n+1)!(-1)^{n+1}(-4)^{-n-2}(\xi)}{(n+1!)}x^{n+1} \le 3(-1)^{n+1}(-4^{-n-2}(\xi)4^{n+1}= \dfrac{-3}{4} (\xi) \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das jetzt aber aus???

Wäre nett, wenn sich das hier jemand einmal anschauen könnte und mir sagen könnte, ob meine Überlegungen stimmen und was es mit diesem Restglied auf sich hat.

Vielen Dank schonmal, Dr. Logik

17.02.2007, 00:49

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Zitat:

Original von Dr. Logik
Also die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \dfrac{x^2+2x-3}{x^2-x-12} \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte nun dazu eine Taylorreihe um den Punkt 0 entwickeln.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \dfrac{x^2+2x-3}{x^2-x-12} = \dfrac{x-1}{x-4} \end{eqnarray*}$

Hier unterschlägst du -3 als kritische Stelle. Dazu musst du mindestens einige Erläuterungen schreiben.

Zitat:

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -3(x-4)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6(x-4)^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-18 (x-4)^{-4} \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}=(-1)^n3n!(x-4)^{-n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich das in die Taylorformel eingesetzt und hab zunächst erhalten:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$

Für n=0 musst du den Funktionswert erhalten; diesen hast du nicht berechnet und eingesetzt.

Zitat:

Nun habe ich das mit einem Algebra-Programm überprüft, erhalte aber, dass meine Taylorreihe um 1 nach unten versetzt ist. Daraufhin habe ich bemerkt, dass die Taylorreihe für n=0 so nicht stimmt. Darf man dann einfach die Taylorreihe so formulieren:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= 1+ \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Dann müsste es stimmen.

Es sollte schon klar sein, wie du auf deine Lösung kommst. Hier müsste dir klar sein, dass irgendwo ein RF steckt.

Wenn du in einer Klausur erkennst, dass irgendwo ein Fehler ist, kannst du das schreiben und zB sagen, dass du aus Zeitgründen dennoch weiterrechnest (das wird dann als Folgefehler gewertet).

Zitat:

Aber was bedeutet das dann für den Konvergenzradius? Der dürfte sich ja eigentlich nicht ändern, wenn man da einen Summanden 1 einfügt oder? Auf jedenfall erhalte ich dann für den Konvergenzradius R=4.

Ja. Wobei du allerdings das Problem mit der nicht definierten Stelle bei -3 hast.

Zitat:

Probleme bereitet mir nun vor allem die Restgliedabschätzung.

Mein Ansatz ist folgender: Die allgemeine Formel für die Restgliedabschätzung lautet ja:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,x_0)(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$ (Lagrange'sche Darstellung)

Ich setze nun ein. Da der Konvergenzradius=4 ist, nehme ich |x|<4:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,0)(x)=\dfrac{3(n+1)!(-1)^{n+1}(-4)^{-n-2}(\xi)}{(n+1!)}x^{n+1} \le 3(-1)^{n+1}(-4^{-n-2}(\xi)4^{n+1}= \dfrac{-3}{4} (\xi) \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das jetzt aber aus???

Wäre nett, wenn sich das hier jemand einmal anschauen könnte und mir sagen könnte, ob meine Überlegungen stimmen und was es mit diesem Restglied auf sich hat.

Siehe zunächst hier: Restglied. Schau dir vor allem die Rolle des $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ an.

Grüße Abakus smile

17.02.2007, 10:53

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Hallo Abakus.
Vielen Dank, dass du dir meine Überlegungen so ausführlich angeguckt hast. Jetzt weiß ich wenigstens schon mal, wo meine Fehler stecken. Allerdings weiß ich noch nicht genau, wie ich das ändern muss, damit ich eine richtige Lösung erhalte.

Zitat:

Original von Abakus
Hier unterschlägst du -3 als kritische Stelle. Dazu musst du mindestens einige Erläuterungen schreiben.

Genügt es zu sagen, dass ich die Funktion der Einfachheit halber umwandele, dass diese aber für $\begin{eqnarray*} x=-3 \text{ und natürlich } x=4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist?

Zitat:

Für n=0 musst du den Funktionswert erhalten; diesen hast du nicht berechnet und eingesetzt.

Achso! Ich berechne also $\begin{eqnarray*} f(0)= \dfrac{0-1}{0-4}= \dfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie bringe ich das dann in die Ableitungsformel ein? Für die anderen Ableitungen passt die Formel ja...
Wäre es eigentlich sinnvoll, die anderen Ableitungen auch an der Stelle 0 anzugeben oder genügt da die allgemeine Form?

Zitat:

Ja. Wobei du allerdings das Problem mit der nicht definierten Stelle bei -3 hast.

Ja, das leuchtet mir ein, dass dadurch ein Problem entsteht. Aber genügt es da, einfach nur zu schreiben, dass an der Stelle -3 die Funktion nicht definiert ist oder hat das noch andere Auswirkungen auf den Konvergenzradius?

Zitat:

Siehe zunächst hier: Restglied. Schau dir vor allem die Rolle des $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ an.

Ok. Jetzt weiß ich wenigstens schon mal, was das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ überhaupt zu bedeuten hat...
Aber wie man jetzt bei dem Restglied genau vorgeht ist mir immer noch nicht ganz klar.
Woher weiß man eigentlich welche Restgliedabschätzung man verwendet? Ist das egal? Kommt das auf die Aufgabenstellung an?
Aus unserer Übung habe ich entnommen, dass der Konvergenzradius bei der Restgliedabschätzung eine Rolle spielt. Nämlich, dass sich das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ innerhalb dieses Konvergenzradius bewegt (stimmt das?). Aber wie verwende ich das für die Restgliedabschätzung?

Wäre nett, wenn mir hierzu noch einmal jemand ein wenig helfen würde.

Viele Grüße, Dr. Logik

17.02.2007, 16:08

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Zitat:

Original von Dr. Logik

Zitat:

Original von Abakus
Hier unterschlägst du -3 als kritische Stelle. Dazu musst du mindestens einige Erläuterungen schreiben.

Genügt es zu sagen, dass ich die Funktion der Einfachheit halber umwandele, dass diese aber für $\begin{eqnarray*} x=-3 \text{ und natürlich } x=4 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist?

Ich würde exakt beschreiben, worin der Unterschied zwischen den betrachteten Funktionen besteht: das sind eben die 2 "Löcher". Dort ist die Funktion sinnvoll ergänzbar.

Zitat:

Für n=0 musst du den Funktionswert erhalten; diesen hast du nicht berechnet und eingesetzt.

Hier siehst du zunächst, wie die Differenz von 1 zustande kommt: der Funktionswert ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ , nach deiner Formel setzt du aber $\begin{eqnarray*} - \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ein.

Die Taylorformel - hier mit Entwicklungspunkt 0 - fängt doch so an:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + ... \end{eqnarray*}$

Du brauchst demnach als erstes Glied den Funktionswert (steht in der Formel oft als "nullte Ableitung").

Ansonsten: wenn du um 0 entwickelst, brauchst du die Werte der Ableitungen dort, ja.

Zitat:

Ja. Wobei du allerdings das Problem mit der nicht definierten Stelle bei -3 hast.

Der Typ der Unregelmäßigkeit bei -3 ist entscheidend, f ist dort analytisch fortsetzbar. In der Funktionentheorie würde man es eine "hebbare Singularität" nennen.

Zitat:

Woher weiß man eigentlich welche Restgliedabschätzung man verwendet? Ist das egal? Kommt das auf die Aufgabenstellung an?
Aus unserer Übung habe ich entnommen, dass der Konvergenzradius bei der Restgliedabschätzung eine Rolle spielt. Nämlich, dass sich das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ innerhalb dieses Konvergenzradius bewegt (stimmt das?). Aber wie verwende ich das für die Restgliedabschätzung?

Naja, außerhalb des Konvergenzkreises kann das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ nicht liegen (da konvergiert die Reihe nicht). Durch den Konvergenzradius hast du demnach zwei Schranken, innerhalb deren das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ variiert. Das kannst du bei der Abschätzung ggf. ausnutzen.

Welches Restglied zu benutzen ist, dürfte jeweils ausprobierbar sein. Ich denke, mit der Lagrange-Form wird man den ersten Versuch starten.

Grüße Abakus smile

18.02.2007, 11:16

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
So langsam kommt bei mir Licht ins Dunkle. Aber mir ist in einigen Punkten immer noch nicht ganz klar, wie der richtige Weg auszusehen hat. Daher nochmal ein paar Fragen:

Zitat:

.

Ansonsten: wenn du um 0 entwickelst, brauchst du die Werte der Ableitungen dort, ja.

Brauche ich die einzelnen Werte immer oder nur dann, wenn ich z.B. die ersten 5 Summanden der Taylorreihe angeben soll? Wie ist es, wenn ich allgemein mit der n-ten Ableitung argumentiere?
Wäre
$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= 1+ \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$
denn dann richtig? Oder schreibt man das so wie du es angegeben hast:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ok. Die Idee die hinter der Restgliedabschätzung steckt scheint mir jetzt einigermaßen klar zu sein. Aber ich weiß leider immer noch nicht, wie ich das auf das Beispiel anwende?

Ist dieser Schritt dann eigentlich falsch:

Zitat:

Da der Konvergenzradius=4 ist, nehme ich |x|<4:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,0)(x)=\dfrac{3(n+1)!(-1)^{n+1}(-4)^{-n-2}(\xi)}{(n+1!)}x^{n+1} \le 3(-1)^{n+1}(-4^{-n-2}(\xi)4^{n+1}= \dfrac{-3}{4} (\xi) \end{eqnarray*}$

???

18.02.2007, 21:16

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Zitat:

Original von Dr. Logik
Brauche ich die einzelnen Werte immer oder nur dann, wenn ich z.B. die ersten 5 Summanden der Taylorreihe angeben soll? Wie ist es, wenn ich allgemein mit der n-ten Ableitung argumentiere?
Wäre
$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= 1+ \sum_{k=0}^n 3(-1)^k(-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$
denn dann richtig? Oder schreibt man das so wie du es angegeben hast:

Ich würde die Schreibweise als unschön ansehen und würde das nullte Glied besser explizit schreiben. Die Minuspotenzen kannst du zudem noch vereinfachen.

Zitat:

Insgesamt recht unübersichtlich aufgeschrieben. Ich sehe nicht, was du wie eingesetzt oder abgeschätzt hast (deine Klammern stimmen nicht und das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ steht irgendwie uneingesetzt da).

Es ist:

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!} \cdot (x - 0)^{n+1} = \frac{1}{(n + 1)!} \cdot (-1)^{n + 1} \cdot 3 \cdot (n + 1)!\cdot (\xi - 4)^{-n-2} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x liegt.

Das wäre zunächst zu vereinfachen. Du kommst nun auf:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_n(x)| \leq 3 \cdot |\xi - 4|^{-n-2} \cdot |x|^{n+1} \end{eqnarray*}$

und kannst die rechte Seite nun mit deinen Kenntnissen über die Lage von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ noch nach oben abschätzen.

Grüße Abakus smile

19.02.2007, 11:05

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Meinst du mit explizit und umgeformt so:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= f(0)+ \sum_{k=1}^n 3(-4)^{-k-1}x^k=\dfrac 1 4 +\sum_{k=1}^n 3 \cdot (-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!} \cdot (x - 0)^{n+1} = \frac{1}{(n + 1)!} \cdot (-1)^{n + 1} \cdot 3 \cdot (n + 1)!\cdot (\xi - 4)^{-n-2} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x liegt.

Das wäre zunächst zu vereinfachen. Du kommst nun auf:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_n(x)| \leq 3 \cdot |\xi - 4|^{-n-2} \cdot |x|^{n+1} \end{eqnarray*}$

und kannst die rechte Seite nun mit deinen Kenntnissen über die Lage von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ noch nach oben abschätzen.

Dazu erst einmal eine Frage: Warum nimmst du hier die Beträge?
Ok - und nun versuche ich mich mal beim Abschätzen...

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_n(x)| \leq 3 \cdot |\xi - 4|^{-n-2} \cdot |x|^{n+1} \leq 3 \cdot |4|^{-n-2} \cdot|x|^{n+1} \leq 3 \cdot |4|^{-n-2} \cdot |4|^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich habe hierbei beim letzten Schritt verwendet, dass x nur im Bereich (-4,4) konvergiert. So haben wir das (wenn ich das richtig verstehe) in den Übungen gemacht. Aber dann würde ja so etwas wie oben herauskommen und es müsste ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}R_n(f,0)(x)=0 \end{eqnarray*}$ herauskommen oder sehe ich das falsch?

Hier ist aber:

$\begin{eqnarray*} R_n(f,0)(x) = \dfrac 3 4 \end{eqnarray*}$

Also scheint mir, das was ich da mache, falsch zu sein. Tut mir leid, mir ist die Abschätzung vom Restglied immer noch nicht klar traurig

Aber nochmal danke, dass du so nett bist und mir das so ausführlich erklärst.

19.02.2007, 12:52

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Zitat:

Original von Dr. Logik
Meinst du mit explizit und umgeformt so:

$\begin{eqnarray*} T_n(f,0)(x)= f(0)+ \sum_{k=1}^n 3(-4)^{-k-1}x^k=\dfrac 1 4 +\sum_{k=1}^n 3 \cdot (-4)^{-k-1}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Ja, genau. Hier ist der Koeffizient jeder Potenz sofort erkennbar.

Zitat:

Die Beträge nehme ich, weil der absolute Fehler interessant ist und es einfacher ist. Gegen die Betrachtung ohne Beträge spricht natürlich nichts.

Deine Argumentation oben hat zwei Löcher:

- einmal ein logisches; wenn du nach oben abschätzt, kannst du nur sagen, dass der Limes (den du unten auch noch hinschreiben müsstest) von $\begin{eqnarray*} |R_n| \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich 3/4 ist (wenn er denn existiert),

- da ist ein RF; wenn du $\begin{eqnarray*} |\xi - 4| \end{eqnarray*}$ abschätzen willst und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ von -4 bis 4 variieren kann, könnte der Betrag immerhin maximal 8 und minimal 0 werden.
Du hast allerdings die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x liegen muss. Das ist ggf. auszunutzen.

Dass das Restglied für große n beliebig klein werden muss, ist für analytische Funktionen richtig.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

19.02.2007, 15:39

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Die Fehler leuchten mir ein.

Allerdings gelingt es mir nicht, eine geeignete Abschätzung zu finden, bei der ich das alles berücksichtige.
Naja - aber ich will es trotzdem mal probieren.

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_n(x)| \leq 3 \cdot |\xi - 4|^{-n-2} \cdot |x|^{n+1} \leq 3 \cdot |x-4|^{-n-2} \cdot|x|^{n+1} \end{eqnarray*}$
Aber hier komme ich nicht weiter...
Dieses verd... Restglied macht mich noch wahnsinnig... Hammer

19.02.2007, 19:18

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Also du willst das hier weiter abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_n(x)| \leq 3 \cdot |\xi - 4|^{-n-2} \cdot |x|^{n+1} \end{eqnarray*}$

Dabei geht es besonders um den Term $\begin{eqnarray*} |\xi - 4|^{-n-2} \end{eqnarray*}$

Dies wird offenbar am größten, wenn der Betrag alleine möglichst klein wird.

Zur Orientierung malst du dir am Besten das Intervall [-4, 4] auf und überlegst, was mit x und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ passieren kann:

1. $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ : dann gilt $\begin{eqnarray*} |\xi - 4|^{-n-2} \leq \frac{1}{4^{n+2}} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ : dann gilt $\begin{eqnarray*} |\xi - 4|^{-n-2} \leq \frac{1}{|x - 4|^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Im ersten Fall siehst du leicht, dass das Restglied für große n sehr klein wird. Im zweiten Fall ist das hier nicht offensichtlich, und die Abschätzung ist auch nicht besonders brauchbar: hier benötigt man vermutlich weitere Informationen über die Lage des $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , um da weiter zu kommen und besser abzuschätzen.

Ansonsten kannst du bei dieser Aufgabe ggf. den Lösungsweg über die geometrische Reihe gehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-4} = 1 - \frac 3 4 \cdot \frac{1}{1-\frac x 4} = 1 - \frac 3 4 \cdot(1 + \frac x 4 + \frac{x^2}{16} +~...) \end{eqnarray*}$

Hier lassen sich dann bekannte Sätze benutzen.

Grüße Abakus smile

19.02.2007, 19:35

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Danke Abakus. Ich glaube jetzt hab ich es einigermaßen verstanden.

Noch eine letzte Frage:

So wie ich es verstanden habe, kann es sein, dass wir in der Klausur vielleicht eine Taylorreihe für z.B. n=1 bis n=4 oder so angeben sollen. Kann man eigentlich bei so einer Aufgabenstellung Aussagen über das Restglied machen? Dazu benötigt man doch eigentlich die n-te Ableitung oder? Sonst kann man ja den Konvergenzradius nicht bestimmen und folglich auch nicht das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ einschränken oder?

Vielen Dank nochmal und viele Grüße, Dr. Logik

19.02.2007, 21:24

Abakus

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

Zitat:

Original von Dr. Logik
So wie ich es verstanden habe, kann es sein, dass wir in der Klausur vielleicht eine Taylorreihe für z.B. n=1 bis n=4 oder so angeben sollen. Kann man eigentlich bei so einer Aufgabenstellung Aussagen über das Restglied machen? Dazu benötigt man doch eigentlich die n-te Ableitung oder? Sonst kann man ja den Konvergenzradius nicht bestimmen und folglich auch nicht das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ einschränken oder?

Das Lagrange-Restglied kannst du für jedes konkrete n hinschreiben und ausrechnen. Ansonsten hängt es natürlich von der Aufgabenstellung ab, was zu machen ist, klar.

Wichtig ist jedenfalls erstmal, die Formel für das Taylorpolynom und das Restglied überhaupt erstmal zu können und diese ggf. hinzuschreiben.

Den Konvergenzradius bekommst du zB mit der Formel von Cauchy-Hadamard usw.

Grüße Abakus smile

20.02.2007, 08:38

Dr. Logik

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RE: Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied
Danke Abakus. Freude

Dann werd ich mir das alles nochmals genauestens ansehen und dann wirds schon schiefgehen.

Viele Grüße, Dr. Logik

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Taylorreihe, Konvergenzradius, Restglied

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