Lineares Ausgleichsproblem und Normalgleichungen

27.01.2013, 16:47

Tobias_T

Lineares Ausgleichsproblem und Normalgleichungen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich bereite mich auf einer Prüfung vor. Dabei bin ich an dieser Aufgaben hängen geblieben und komme einfach nicht weiter, weil ich nicht weiß was ich mit den gegebenen Daten anfangen soll. Bitte hilft mir auf die Sprünge.

Geg: Lineares Ausgleichsproblem mit dem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} b_i=x_1+x_2*t_i=: \phi(t_i,x), x \in R^2, n=2, i=1,...m \end{eqnarray*}$

sowie folgende Daten:
$\begin{eqnarray*} t_i |1|2|3|4|5|\\<br /> b_i |1|2|3|4|7|\\ \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist: Man soll n Normalgleichungen angeben und diese dann lösen. Das Lösen kriege ich schon auf die Reihe. Aber wie gebe ich diese Gleichungen an? Danke!

Meine Ideen:
Ich habe es mit einfachem Einsetzen versucht aber gar nicht weiter gekommen. Plus mich irritiert, dass n=2 ist, was bedeuten würde, dass ich nur 2 Gleichungen angeben muss.

27.01.2013, 18:25

Dopap

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dazu solltest du die Fehlerquadratsummen minimieren.

$\begin{eqnarray*} s_1=(b_1-x_1-x_2t_1)^2 \quad \text{und } \quad b_1,t_1 \end{eqnarray*}$ einsetzen

$\begin{eqnarray*} s_2=(b_2-x_1-x_2t_2)^2 \quad \text{und } \quad b_2,t_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen

...

$\begin{eqnarray*} S=\sum_{i=1}^5 (b_i-x_1-x_2t_i)^2 \end{eqnarray*}$

partielle Ableitungen von S nach $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ ---> 2 Normalgleichungen.

27.01.2013, 20:17

Tobias_T

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Ich danke Dir! Eine Frage nur noch: bei den $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ -Gleichungen schreibst du
$\begin{eqnarray*} s_i=(b_i - x_1 - x_2*t_i)^2 \end{eqnarray*}$ Sollte der 2te Minus nicht ein Plus sein(wie in der Aufgabestellung)?

27.01.2013, 20:28

Dopap

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Zitat:

Original von Tobias_T
$\begin{eqnarray*} s_i=(b_i - x_1 - x_2*t_i)^2 \end{eqnarray*}$ Sollte der 2te Minus nicht ein Plus sein ....

$\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ =Tabellenwert

$\begin{eqnarray*} y_i=x_1+x_2t_i \end{eqnarray*}$ = Funktionswert der Geraden an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_i= (b_i-y_i)^2 \end{eqnarray*}$ = Differenz hoch 2

$\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ muss beim Einsetzen geklammert werden. Lehrer

27.01.2013, 20:44

Tobias_T

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Stimmt

. Vielen Dank noch ein mal. Es hat funktioniert.

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