Konvergenzradius (Beispiel)

16.02.2007, 17:29

Shadow86

Konvergenzradius (Beispiel)

Kann mir jemand erklären wie ich den Konvergenzradius bestimme. Am Besten am Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n^{n}}{n!}* x^{n} \end{eqnarray*}$

16.02.2007, 17:32

Shurakai

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Hast du denn nen Ansatz oder hast du garkeine Ahnung?

16.02.2007, 17:40

Shadow86

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ich habs mit dem Quotientenkriterium probiert, aber an für sich keine Ahnung ;-)

16.02.2007, 17:59

brain man

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Quotientenkriterium funktioniert.

Nach Einsetzen in

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{ a_{n+1}}{a_{n}} \mid < \lambda \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<\lambda<1 \end{eqnarray*}$

erhältst du im ersten Schritt :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(n+1)^{n+1}*r^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{n^n*r^n} < \lambda \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt noch umformen,kürzen.

16.02.2007, 18:20

Shadow86

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ok, soweit hatte ich es eigentlich auch.
Mit umformen und kürzen ergibt sich = $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1}*x^{n+1}*n!}{(n+1)!* n^{n}*x^{n}} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n*(n+1)*x^{n}*x*n!}{(n+1)!*n^{n}*x^{n}} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}*x}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

und weiter?

16.02.2007, 18:25

kiste

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willst du den Konvergenzradius bestimmen oder nur die Konvergenz zeigen?
Weil zum Konvergenzradius bestimmen musst du hier das ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_n}{a_{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Für die Konvergenz musst du in dem Ausdruck den du im Moment hast n gegen unendlich laufen lassen und schauen das es < 1 ist

16.02.2007, 18:42

Shadow86

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wieso ist a(n) (wie mach ich denn hier die Indizes) = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ was ist denn mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2007, 18:57

Shurakai

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Benutze einen Unterstrich für Indizes.

Das ist die Folge, die du untersuchen musst, um den Konvergenzradius zu bestimmen.

16.02.2007, 19:26

Shadow86

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das erklärt mir aber noch nicht, warum ich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ von der ganzen Summe, die ich oben angegeben habe, weglassen kann.

Wenn ich das alles umforme und kürze, habe ich bei der Folge, die ich untersuchen muss $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} \end{eqnarray*}$ stimmts? Das strebt offensichtlich gegen 0. Muss ich das auch noch zeigen oder reicht es, das so zu sagen. Und überhaupt, ist mein Konvergenzradius dann 0?

16.02.2007, 22:08

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Zitat:

Original von Shadow86
das erklärt mir aber noch nicht, warum ich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ von der ganzen Summe, die ich oben angegeben habe, weglassen kann.

Anscheinend verwechselst du Konvergenzkriterien für normale Reihen einerseits mit Bestimmungsformeln für den Konvergenzradius von Potenzreihen andererseits. Schau mal in deine Aufzeichnungen, dann sollte dir das klar werden!

Du kannst natürlich auch Potenzreihen als normale Reihen auffassen, indem du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festhältst. Diese Betrachtungen musst du dann aber gedanklich für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchführen, womit du letztendlich doch wieder beim Konvergenzradius landest. Augenzwinkern

16.02.2007, 23:05

Shadow86

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Anscheinend verwechselst du Konvergenzkriterien für normale Reihen einerseits mit Bestimmungsformeln für den Konvergenzradius von Potenzreihen andererseits. Schau mal in deine Aufzeichnungen, dann sollte dir das klar werden!

Du kannst natürlich auch Potenzreihen als normale Reihen auffassen, indem du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festhältst. Diese Betrachtungen musst du dann aber gedanklich für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchführen, womit du letztendlich doch wieder beim Konvergenzradius landest. Augenzwinkern

Muss ich mal gucken, aber ich hab das mit dem Konvergenzradius eben nicht so kapiert. Kannst du mir oder irgendjemand anderes mir noch meine vorherige Frage beantworten: Was mache ich, wenn ich das dann eben zu $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} \end{eqnarray*}$ gekürzt habe?

17.02.2007, 15:23

klarsoweit

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Kürze durch n^n. Augenzwinkern

17.02.2007, 20:08

Shadow86

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Zitat:

Original von klarsoweit
Kürze durch n^n. Augenzwinkern

ja, aber so leicht ist das nicht, wegen dem (n+1)^n. Man könnte die Klammer auflösen, wie bei der Binomischen Formel aber erstens haben wir im Nenner dann eine Summe und zweitens haben wir hier ^n und das geht nur mit dem Binomialkoeffizienten. Deshalb wollte ich eigentlich wissen, wie man dann am schlausten an die Sache rangeht

17.02.2007, 20:10

kiste

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Du musst die Summe ja nicht ausschreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \end{eqnarray*}$

17.02.2007, 20:38

Shadow86

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ok dann hab ich $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$
Und wie bestimme ich jetzt den Konvergenzradius?

17.02.2007, 20:47

kiste

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Naja n gegen unendlich laufen lassen

Tipp: Schau dir mal die Definition der eulerschen Zahl an

17.02.2007, 21:25

Shadow86

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$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$
Wenn ich $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} als (\frac{n-1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ schreibe, kann ich das zu $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ umformen, wenn ich jetzt den lim nehme für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ ist das die definition von 1/e. Ist dann 1/e mein Konvergenzradius?

17.02.2007, 21:34

kiste

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Das Ergebnis stimmt, wie du darauf gekommen bist allerdings nicht.
$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^n \neq (\frac{n-1}{n})^n \end{eqnarray*}$
z.B. für n = 1:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Für die richtige Umformung beachte n = n + 1 - 1

17.02.2007, 21:43

Shadow86

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ok, danke

18.02.2007, 01:50

Shadow86

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Wie ist das bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ n^{n}*x^{n} \end{eqnarray*}$
Ich habe $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{a_n+_1} \end{eqnarray*}$
Dann berechne ich $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$ durch umformen zu $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1})^{n}*\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich dann beim Limes $\begin{eqnarray*} x->\infty \end{eqnarray*}$ gehen lasse geht der erste Ausdruck wieder gegen 1/e, der zweite aber gegen 0. Da 1/e * 0 = 0 wäre der Konvergenzradius Null. Hab ich das richtig ausgerechnet?
Sagt mir bitte, ob ich den Konvergenzradius jetzt richtig verstanden habe.

18.02.2007, 09:42

kiste

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Das stimmt. Lässt sich auch ohne die Formel für den Konvergenzradius erklären da:
$\begin{eqnarray*} n^n\cdot x^n = (nx)^n \end{eqnarray*}$ nur zu einer Nullfolge wird wenn x = 0 also kann es für alle anderen x nicht konvergieren.

18.02.2007, 12:09

Shadow86

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Gut, danke dann hab ih das mit dem Konvergenzradius jetzt glaube ich kapiert, aber eine Frage noch, kann man das auch mit dem Wurzelkriterium berechnen, denn $\begin{eqnarray*} (nx)^{n} \end{eqnarray*}$ schreit doch quasi danach, dass ich die n-te Wurzel daraus ziehe.

18.02.2007, 14:17

kiste

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Klar kannst du das auch mit dem Wurzelkriterium machen. Eine Potenzreihe ist nur eine Spezialfall einer Reihe mit einer frei wählbaren Variable.

Du wirst sehen das beim Wurzelkriterium ebenfalls rauskommt das für x/=0 die Reihe nicht konvergiert.

18.02.2007, 22:57

Shadow86

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Aber wie ist das beim Wurzelkriterium, wenn ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{n}} = \lim_{n \to \infty} n = \infty \end{eqnarray*}$ rechne hab ich jetzt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als Konvergenzradius raus und nicht Null. Wo ist mein Fehler?

18.02.2007, 23:19

kiste

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Der Fehler ist das das Wurzelkriterium nichts über den Konvergenzradius aussagt.
Es musst gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$

Beziehungsweise für den Konvergenzradius die Formel von Cauchy-Hadamard:
$\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}} \end{eqnarray*}$
Hier also r = 0

edit: latex tags vergessen

23.02.2007, 23:23

Shadow86

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Zitat:

Original von kiste
willst du den Konvergenzradius bestimmen oder nur die Konvergenz zeigen?
Weil zum Konvergenzradius bestimmen musst du hier das ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_n}{a_{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Für die Konvergenz musst du in dem Ausdruck den du im Moment hast n gegen unendlich laufen lassen und schauen das es < 1 ist

Ich habe in meinen Unterlagen das Quotientenkriterium gefunden, das lautet:
$\begin{eqnarray*} a_n+_1\leq q*a_n; \forall 0\leq q<1 \end{eqnarray*}$ . Das macht dann aber $\begin{eqnarray*} \frac{a_n+_1}{a_n}\leq q \end{eqnarray*}$ . Also genau umgekehrt. Und dann ist der Konvergenzradius auch nicht 1/e, sondern e, also logischerweise auch hier Zähler und Nenner umgekehrt.

23.02.2007, 23:33

kiste

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Ja das ist das Quotientenkriterium. Wenn du das anwendest musst du die x aber auch mit reinnehmen.
Die Formel für das Quotientenkriterium und für den Konvergenzradius unterscheiden sich auch.
Vergleiche dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

24.02.2007, 00:48

Shadow86

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Und wie ist das bei dieser Aufgabe?

Zeigen Sie, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$
nach dem Wurzelkriterium konvergiert, aber das Quotientenkriterium versagt. Hinweis: Beweisen Sie, dass das Quotientenkriterium hier nicht ausreicht.

Ich hab mit Wurzelkrit. 1/2 raus, weiß aber 1. nicht, ob das richtig ist und 2. nicht, wie man zeigt, dass das Wurzelkrit. versagt.

24.02.2007, 09:59

Shurakai

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Damit das Quotientenkriterium versagt, musst du für das Quotientenkriterium 1 herausbekommen.

24.02.2007, 11:47

Shadow86

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Wieso muss da 1 rauskommen, dann hab ich doch ein Ergebnis, das ist dann zwar nicht das gleiche wie beim Wurzelkriterium, aber ich hab ein Ergebnis und kann im Prinzip nicht wissen, welches jetzt das richtige ist.

24.02.2007, 13:59

klarsoweit

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Ich verstehe nicht so ganz, wieso das Quotientenkriterium versagen sollte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}} \leq \frac{3}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Und damit ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{2^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{3} = 1/2 \end{eqnarray*}$

24.02.2007, 15:36

Shadow86

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Wie kommst du auf 1/2?

Muss man die Summe, die bei n=1 anfangen soll, dann eigentlich in n=0 (und entsprechende Umformung der Reihe) umschreiben oder geht das auch so?

Ich hab mal beides gemacht und komme bei beiden nicht weiter. Vllt soll das ja auch so sein, weil es ja heißt, dass das Quotientenkrit. scheitert, aber wenn du 1/2 raus hast, was auch beim Wurzelkriterium rauskommt, verwirrt mich das

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n+_1}{a_n}=\frac{\frac{2+(-1)^{n+1}}{2^{n}}}{\frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}} =\frac{2+(-1)^{n+1}}{2^{n}}*\frac{2^{n-1}}{2+(-1)^{n}}=\frac{2+(-1)^{n}*(-1)}{2*(2+(-1)^{n})}= \frac{1}{2+(-1)^{n}}+\frac{(-1)^{n}*(-1)}{2*(2+(-1)^{n})} \end{eqnarray*}$

Ja und hier hänge ich.

Ach ja, bei deiner Ungleichung, woher willst du wissen, ob $\begin{eqnarray*} 2+(-1)^{n} \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist, du kannst nicht wissen, dass n gerade ist.

24.02.2007, 15:43

Schlauberger

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ist das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ nicht völlig egal, da es eh nur um den betrag geht?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \mid \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \mid \end{eqnarray*}$

24.02.2007, 21:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shadow86
Ach ja, bei deiner Ungleichung, woher willst du wissen, ob $\begin{eqnarray*} 2+(-1)^{n} \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist, du kannst nicht wissen, dass n gerade ist.

Entweder ist n ungerade, dann steht da 2-1=1, oder n ist gerade, dann steht da 2+1=3. In jedem Fall gilt: $\begin{eqnarray*} 2+(-1)^{n} \leq 3 \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Zitat:

Original von Schlauberger
ist das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ nicht völlig egal, da es eh nur um den betrag geht?

Es geht hier nicht um $\begin{eqnarray*} |(-1)^n| \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} 2+(-1)^n \end{eqnarray*}$ , und da gibt es eben die oben beschriebenen Fälle. Du könntest allenfalls mit der Dreiecksungleichung argumentieren:
$\begin{eqnarray*} |2+(-1)^n| \leq |2| + |(-1)^n| = 2+1=3 \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 20:46

Shadow86

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Ok, aber das hilft mir nicht wirklich weiter, wenn ich die Aufgabe lösen möchte.

26.02.2007, 08:40

klarsoweit

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Es ging doch um diese Aufgabe:

Zitat:

Original von Shadow86
Zeigen Sie, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$
nach dem Wurzelkriterium konvergiert, aber das Quotientenkriterium versagt. Hinweis: Beweisen Sie, dass das Quotientenkriterium hier nicht ausreicht.

Mein Einwand ist der, daß man mit dem Quotientenkriterium durchaus die Konvergenz zeigen kann. Jetzt kannst du zu dem AUfgabensteller gehen, den Einwand vorbringen und um nähere Erläuterung bitten. Augenzwinkern

26.02.2007, 11:23

Shadow86

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Ich hab in der Vorlesung beim Quotientenkriterium aufgeschreiben, dass gelten muss: $\begin{eqnarray*} 0\leq q <1, a_n+_1\leq q*a_n \forall n\geq N \end{eqnarray*}$
Wenn ich das so mache und vereinfache etc., muss ich dann einfach nur ein n finden für das die Ungleichung gilt oder muss ich davon auch den lim noch finden, das ist mir bisher nicht wirklich klar geworden.
Ähnliches auch beim Wurzelkriterium.

26.02.2007, 12:56

klarsoweit

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Ich formuliere das Quotientenkriterium mal so:

Wenn es ein q gibt mit 0 <= q < 1 und ein N, so daß gilt: $\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q ~ \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist, daß der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ in der Regel von n abhängt. (Wenn nicht, sieht man direkt, ob die Bedingung erfüllt ist oder nicht.) Um die Abhängigkeit von n entfernen, muß man $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ geeignet nach oben abschätzen. Da das beliebig kompliziert sein kann, bildet man den Limes für n gegen unendlich. Existiert der Grenzwert (wir nennen ihn mal g) und ist g < 1, so gibt es ein N mit $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < g + \frac{1-g}{2} = \frac{g+1}{2} < 1 ~ \forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Analoges gilt für das Wurzelkriterium.

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