Lineare Abbildung

27.01.2013, 19:42

baba2k

Lineare Abbildung

Hallo,

ich bräuchte mal einen Ansatz bei folgender Aufgabe:

Für eine Lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
berechne man für die Basis $\begin{eqnarray*} \vec{b_1}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{b_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M(f;\vec{b_1},\vec{b_2};\vec{b_1},\vec{b_2}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -3 \\ -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter?

Danke!

//EDIT: $\begin{eqnarray*} M(f;\vec{b_1},\vec{b_2};\vec{b_1},\vec{b_2})=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 17 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das ist aber noch nicht das Ergebnis, oder?

27.01.2013, 20:05

Math1986

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von baba2k
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -3 \\ -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter?

Nun musst du diese Vektoren darstellen als Linearkombination der Basisvektoren.

27.01.2013, 20:35

baba2k

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 17 \end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 17 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 53 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot2+II\cdot3 \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-\frac{53}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{49}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -11 \end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & -11 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & -39 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot2+II\cdot3 \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-\frac{39}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{35}{12} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Irgendwie kommmen da komische Werte raus...

27.01.2013, 20:53

Math1986

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Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 17 \end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 17 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 53 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot2+II\cdot3 \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-\frac{53}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{49}{12} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich verrechnent. $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-\frac{19}4 \end{eqnarray*}$ wäre richtig. Bitte nachrechnen.

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -11 \end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & -11 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & -39 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot2+II\cdot3 \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=-\frac{39}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{35}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{17}4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=\frac{39}4 \end{eqnarray*}$ wäre richtig.

27.01.2013, 21:00

baba2k

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Stimmt, da hab ich mich ganz schön verrechnet...

Was ist jetzt mein M?

$\begin{eqnarray*} M(f;\vec{b_1},\vec{b_2};\vec{b_1},\vec{b_2})=\begin{pmatrix} -\frac{19}{12} & \frac{17}{4} \\ -\frac{53}{4} & \frac{39}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Danke!

27.01.2013, 21:05

Math1986

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$\begin{eqnarray*} M(f;\vec{b_1},\vec{b_2};\vec{b_1},\vec{b_2})=\begin{pmatrix} -\frac{19}4 &\frac{17}4\\ -\frac{53}4&\frac{39}4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(der Eintrag rechts oben stimmte nicht)

27.01.2013, 21:15

baba2k

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Heute hab ich's aber...

Du meinst sicherlich links oben.

Vielen Dank!

20.02.2013, 00:56

Charlie =)

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Zu dem Thema hätte ich eine Verständnisfrage.

Was macht man nun mit dieser Matrix?
Meine Überlegung wäre folgende: Man kann eine "neue" Basis durch die Darstellungsmatrix und die "alte" Basis darstellen. Die neue Basis ist ja die alte Basis, die durch die lineare Abbildung neu abgebildet wurde. Bis hier hin erstmal - liege ich mit der Überlegung richtig? Wenn nicht, wäre es nett, wenn jemand nochmal kurz zusammenfassen könnte, was eigentlich gemacht wurde.

Weiterhin: Wie gebraucht man die Darstellungsmatrix in Verbindung mit der alten Basis um eine neue Basis zu erhalten?

BTW: Wie man eine Darstellungsmatrix aufstellt weiß ich. Ich würde nun aber auch gerne verstehen, was ich da eigentlich mache.

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