lin. Abb Basis des Kerns/Bildes und Dimensionsformel

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27.01.2013, 20:23	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
lin. Abb Basis des Kerns/Bildes und Dimensionsformel Hallo, ich bin mir bei einer Aufgabe nicht ganz sicher: Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wird gegeben durch: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (i) Wie lautet die Matrix $\begin{eqnarray} M(f;\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3};\vec{e_1},\vec{e_2}) \end{eqnarray}$ ? (ii) Man bestimme eine Basis des Kerns von f (Nullraum) sowie eine Basis des Vildes von f und bestätige die Dimensionsformel. Meine Ideen: (i) $\begin{eqnarray} M(f;\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3};\vec{e_1},\vec{e_2})=\begin{pmatrix} 5 & -3 & -1 \\ -10 & 6 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ii) Basis des Kerns von f: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 5 & -3 & -1 & 0 \\ -10 & 6 & 2 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 5 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot2+II \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2,x_3 \end{eqnarray}$ frei wählbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow 5x_1-3x_2-x_3=0 \Rightarrow x_1=\frac{3}{5}x_2+\frac{1}{5}x_3 \end{eqnarray}$ Basis des Kerns von f: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das eine Basis des Kerns von f? Wie berechne ich jetzt am besten das Bild von f? Vielen Dank!
27.01.2013, 21:09	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. Abb Basis des Kerns/Bildes und Dimensionsformel Die Darstellungsmatrix und die Basis des Kerns sind korrekt. Bestimme nun aus den gegebenen Bildvektoren eine Basis.
27.01.2013, 23:24	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} dim Kern(f) = 2 \end{eqnarray}$ Basis des Bildes von f: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 5 & -3 & -1 \\ -10 & 6 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M^T=\begin{pmatrix} 5 & -10 \\ -3 & 6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Gauß-Alogrithmus $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cc} 5 & -10 \\ -3 & 6 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cc} 5 & -10 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II'=I\cdot3+II\cdot5 \\ III'=I+III\cdot5 \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M^T=\begin{pmatrix} 5 & -10 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (M^T)^T=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Basis des Bildes von f: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dim Bild(f) = 1 \end{eqnarray}$ Dimensionsformel bestätigen: $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R^3)=dim Kern(f) + dim Bild(f) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 = 2 + 1 \end{eqnarray}$ Kann das so stimmen? Schreibt man die Bestätigung der Dimensionsformel so auf? Also: $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R^3) \end{eqnarray}$ ?
27.01.2013, 23:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
ist richtig. Wobei die Bestimmung der Basis des Bildes einfacher geht. Die Dimensionsformel sagt dir, dass das Bild eindimensional ist. Also reicht es, aus deiner Matrix M eine Spalte zu nehmen.
27.01.2013, 23:42	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis des Bildes ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das ist richtig, damit stimmt auch die Dimensionsformel.
27.01.2013, 23:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@Math1986: sorry, ich sah dich gerade in einem anderen (zentralen) Scharmützel beschäftigt
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27.01.2013, 23:58	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dann hab ich es verstanden Danke dir/euch! @URL: Das heißt wenn ich $\begin{eqnarray} dim(\mathbb R^3)-dim Kern(f)=dim Bild(f) \Rightarrow 3-2 = 1 \end{eqnarray}$ Bekomme kann ich einfach irgendeine Spalte nehmen? Wäre dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} oder \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch eine Basis des Bildes von f? Aber ich muss doch die Dimensionsformel bestätigen und kann nicht einfach annehmen, dass sie stimmt, oder etwa doch?
28.01.2013, 00:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dimBild(f)=1 ist, kannst du eine beliebige Spalte der Abbildungsmatrix nehmen (es darf natürlich keine Nullspalte sein). Bei dimBild(f)=k dann k linear unabhängige Spalten der Abbildungsmatrix. Je größer k wird, desto weniger offensichtlich ist in der Regel natürlich, welche Spalten l.u. sind. Aber bei k=1 geht das noch Du sollst die Formel ja nur bestätigen. Also kannst du nach meiner Methode eine Spalte auswählen, dir überlegen, dass das eine Basis ist (wobei du dich hier eben nicht auf die Dimensionsformel berufen darfst!! Was aber hier auch nicht nötig ist, weil die Behauptung ziemlich offensichtlich ist) und dann die Dimensionsformel damit bestätigen. Zugegeben, auch nicht viel einfacher als dein Weg, und an deiner Vorgehensweise ist absolut nichts auszusetzen. Nimm meine Methode vielleicht als Erleichterung bei künftigen Aufgaben
28.01.2013, 00:14	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, das werde ich machen. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann sind $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} oder \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch eine Basis des Bildes von f, richtig? Aber wie "überlege" ich mir, dass das eine Basis ist? Wenn k > 1 ist müsste ich noch die l.u. überprüfen, da ist dann vermutlich meine Variante schneller? Danke!
28.01.2013, 00:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sind auch Basen. Wenn du genau hinschaust, siehst du bestimmt, dass es Vielfache von (5,-10)^T sind. Und damit hast du auch schon gezeigt, dass (5,-10)^T eine Basis ist. Für k=2 sieht man lin. U. auch noch und bei Übungsaufgaben kommt man damit schon recht weit, finde ich. Für k>2 wird es unübersichtlich, da hilft wohl nur Systematik, wie du es gemacht hast.
28.01.2013, 00:30	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, ja ich sehe das das vielfache sind, kann mir grad nur kein beispiel für k=2 vorstellen, hatten wir bis jetzt noch nicht. Wenn es vielfache sind sind sie aber doch l.a? Wenn also einer nicht ein vielfaches wäre sind sie l.u und ich hätte k=2. Oder denke ich grad falsch?
28.01.2013, 00:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel für k=2 ist $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die erste Spalte ist ungleich Null, also kannst die nehmen. Die zweite Spalte ist Vielfaches der ersten, deshalb darfst du die nicht dazu nehmen Die dritte kannst du dazu nehmen. Vergleich das mal mit deiner Methode
28.01.2013, 01:03	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, so meinte ich das auch hab mich glaub etwas unverständlich ausgedrückt. Nach meinem schema fällt die 2 spalte weg und 1. Und 3. Spalte wären die basis, kommt also das selbe raus Danke!
28.01.2013, 01:07	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ne, bei mir würd ich in der 3. Spalte, 1. Ziele mit Gauß ne 0 hinmachen, wäre das falsch?
28.01.2013, 01:16	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2\\0&0\\0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A^T)^T=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Basis des Bildes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das auch richtig? Nach deiner Methode wäre es ja: Basis des Bildes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
28.01.2013, 10:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Beides ist richtig. Eine Basis ist doch nicht eindeutig bestimmt. In dem Fall muss man mit meiner Methode eben überhaupt nichts rechnen sondern kann die Basis hinschreiben. Aber wenn dich das jetzt aus dem Tritt bringt, vergiss es lieber wieder.
28.01.2013, 10:43	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nee dann ist alles gut hat mich nur gewundert, dass bei mir beim 2. Vektor nen anderer Vektor raus kam. Dann hab ich es jetzt kapiert. Danke!

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