Gruppenaxiome nachweisen

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Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenaxiome nachweisen
Es sei und . Man zeige, dass die Verknüpfung eine Gruppenstruktur auf M definiert. Ist die Gruppe abelsch?

Im ersten Schritt muss ich die Assoziativität nachweisen, also: .
Wie soll ich das zeigen, wenn ich nicht weiß, wie ich die Matrixeinträge miteinander verknüpfung soll?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome nachweisen
Zunächst einmal ist die Verknüpfung definiert durch



Ich würde hier eher vorschlagen, dass du als erstes überprüfst, ob das eine zyklische oder nichtzyklische Gruppe wäre, so es überhaupt eine Gruppe ist...
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome nachweisen
Ich hab die Aufgabenstellung 1 zu 1 abgetippt. Wir hatten noch keine zyklische Gruppen. unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome nachweisen
Ok, dann fang mit den "leichten" Sachen an, die Überprüfung der Assoziativität ist nämlich echt hart, wenn man nicht einmal auf zyklische Gruppen zurückgreifen kann... unglücklich

1. Ist die Verknüpfung kommutativ?
2. Gibt es in M ein neutrales Element (oder Einselement) e?
3. Wenn ja, gibt es zu jedem x in M ein Inverses?
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Die Axiome an sich kenne ich schon. Aber mir ist nicht klar, wie ich die einzelnen Elemente miteinander verknüpfen soll. unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht hilft es, wenn du M übersetzt in mit . Dann lässt sich nämlich die Gruppenoperation einfach schreiben als
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Lamiah

Die Verknüfung habe ich ja oben hingeschrieben, nämlich



Hast du das überlesen oder verstehst du das nicht? verwirrt
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Also: . Wie verknüpfe ich dann bzw. miteinander?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn die Elemente von M sind 1,2,3,4... Wie kommst du auf deine Paare (a,b), (c,d), etc?... geschockt

Edit: Ich habe den Eindruck, du kannst mit



nichts anfangen... Hier ein Beispiel:



also gilt 2*3=3*2... Frage: Gilt allgemein i*j=j*i?
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist mir klar.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Warum rechnest du dann nicht mir den Elementen 1,2,3,4, sondern stattdessen mit deinen seltsamen Paaren? Ich möcht's nur gern verstehen... verwirrt
Lamiah Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt alle Axiome gezeigt, bis auf die Assoziativität. Wie zeigt man das, ohne das für jede Möglichkeit einzeln zu zeigen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich kann dir darauf schon eine Antwort geben, da ich mich damit (vermutlich mehr als jeder andere hier) schon auseinandergesetzt habe, aber ich bin nicht sehr optimistisch, ob sie dich wirklich zufriedenstellen wird...

Zunächst einmal kann man das Assoziativgesetz so deuten, dass die Linksmultiplikationen



mit den Rechtsmultiplikationen



vertauschbar sind, denn die Gleichung



bedeutet ja ausgeschrieben gerade



also genau das, was für das Assoziativgesetz gefordert ist. Nun ist aber hier









Sämtliche Multiplikationen, ob von links oder von rechts, sind mithin Potenzen von (auch id kann ja als gedeutet werden!) und somit klarerweise untereinander vertauschbar, womit die Assoziativität erfüllt ist...
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