Untersuchen Sie auf Konvergenz

28.01.2013, 12:26

StevenSpielburg

Untersuchen Sie auf Konvergenz

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, wo ich die Konvergenz einer Reihe beweisen soll. Leider finde ich zu der Reihe keine gute Bildungsvorschrift, vllt könnt ihr mir weiter helfen.

Hier die Reihe:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1*2}{1*3}+\frac{1*2*3}{1*3*5} \end{eqnarray*}$

im Zähler ist offenbar eine Fakultät, aber der Nenner bereitet mir Probleme...

28.01.2013, 12:27

Che Netzer

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RE: Untersuchen Sie auf Konvergenz
Google mal nach "Doppelfakultät".

28.01.2013, 12:59

StevenSpielburg

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okay danke, jetzt habe ich die also die bildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{(2n-1)!!}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{\frac{(2n)!}{2^n*n!} } =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!*n!*2^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

so müsste das dann ja eigentlich stimmen, wie mache ich aber jetzt weiter? ich muss ja erstmal die Nullfolge bestimmen....die könnte ich zur Not ja auch noch über die Folgeglieder argumentieren, da der Nenner ja schneller gegen unendlich geht als der Zähler. Aber vielleicht gibts auch noch eine andere Möglichkeit.
Und welches Kritierium würde sich am besten eignen umd die Konvergenz zu beweisen?

28.01.2013, 13:04

Che Netzer

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Das Quotientenkriterium bietet sich hier an. Sogar ohne explizite Bildungsvorschrift.
Welche Faktor kommt denn beim $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Summanden hinzu? D.h. wie sieht $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ aus?

28.01.2013, 16:05

StevenSpielburg

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okay ich habe das mal mit quotientenkriterium versucht:

$\begin{eqnarray*} \alpha := \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!*(n+1)!*2^{n+1}}{\frac{(2(n+1))!}{\frac{n!*n!*2^n}{(2n)!} } } \end{eqnarray*}$

und wie gehts dann weiter? kann ich sowas wie (2(n+1))! noch umschreiben?
außer vllt (2n+2)!
bzw, kann ich 2n! umschreiben?

mit dem Faktor verstehe ich gerade nicht genau wie du das meinst...
Quotientenkriterium ist doch an+1/an

28.01.2013, 18:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
mit dem Faktor verstehe ich gerade nicht genau wie du das meinst...
Quotientenkriterium ist doch an+1/an

Ja, und um welchen Faktor unterscheidet sich $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nun von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?
Das ist ja gerade dieser Quotient.

29.01.2013, 12:35

StevenSpielburg

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mhhh ich verstehs immer noch nicht was genau du meinst... könntest du mir vielleicht zeigen, wie ich das ganz normal mit dem quotientenkriterium machen kann?

29.01.2013, 12:37

Che Netzer

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Im Quotientenkriterium betrachtet man ja $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ . Dieser Quotient ist genau der Faktor, in dem sich $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unterscheidet. Die gemeinsamen Faktoren kürzen sich heraus, es bleibt nur der stehen, der bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ "hinzukommt".

30.01.2013, 10:40

StevenSpielburg

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mhh ich komme nicht auf das was du sagst glaube ich. Wenn du den Faktor meinst?!
Vllt meinst du die 2 als Faktor die dazu kommt?
ansonsten habe ich ja bei an+1 überall n+1 stehen für n und 2^(n+1) was ja 2*2^n entspricht. Also meinst du 2 als Faktor?

30.01.2013, 11:01

Che Netzer

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RE: Untersuchen Sie auf Konvergenz
Nein.
Wir reden doch über

Zitat:

Original von StevenSpielburg
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1*2}{1*3}+\frac{1*2*3}{1*3*5} \end{eqnarray*}$

Da siehst du doch wohl, dass mit jedem Summanden ein bestimmter Bruch hinzukommt.
Wie lautet dieser?

30.01.2013, 11:18

StevenSpielburg

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n+1/n+2
?

ganz nebenbei

ist (2(n+1))! = (2n+2)! = 2n!*(n+1)(n+2) ??

30.01.2013, 11:20

Che Netzer

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
n+1/n+2
?

Dass beim $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -ten Summanden ein $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ in den Zähler kommt, stimmt zwar, der Nenner aber nicht.

Zitat:

ist (2(n+1))! = (2n+2)! = 2n!*(n+1)(n+2) ??

Ja.

30.01.2013, 11:37

StevenSpielburg

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Okay ich versuchs nochmal auf die alte Methode:
mit Quotientenkriterium, da mir nicht ganz klar ist vorauf du hinaus willst.
also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!*(n+1)!*2^{n+1}}{(2(n+1))!} }{\frac{n!*n!*2^n}{2n!} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\lim_{n \to \infty } \frac{n!*(n+1)*n!*(n+1)*2*2^n*2n!}{(2n+2)!*n!*n!*2^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)*(n+1)*2}{(n+1)*(n+2)} = \lim_{n \to \infty } \frac{2n+2}{n+2} \end{eqnarray*}$

allerdings sieht man ja schon, dass der Zähler größer ist als der Nenner bei meiner Lösung und so nicht gegen 0 Laufen kann. Wo liegt mein Fehler?

30.01.2013, 11:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)*(n+1)*2}{(n+1)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

Der Nenner ist hier falsch.
Da habe ich oben deine Formel auch fälschlicherweise bestätigt, $\begin{eqnarray*} (2n+2)! \end{eqnarray*}$ ist nämlich etwas anderes, sieht aber ähnlich aus.

30.01.2013, 11:50

StevenSpielburg

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ah okay, was wäre das dann? bzw. wo kann ich diese rechenregel nachschaun?

30.01.2013, 11:57

StevenSpielburg

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alles klar habs schon, (2n+2)!=2n!(2n+1)(2n+2)

damit ist das kriterium auch recht einfach zu lösen und man kann auch die konvergenz beweisen.

30.01.2013, 12:01

StevenSpielburg

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Dann hätte ich noch eine allgemeine Frage zu der Doppelfakultät

Wenn ich jetzt (2n+2)!! anstatt (2n+1)!! hätte
würde dann meine Umformung so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+2)!}{2^n*n!} \end{eqnarray*}$

also ändert sich immer nur die Zahl im Zähler?

30.01.2013, 12:19

Che Netzer

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Du kannst dir einfach die Definition der Fakultät ansehen.
Wie lauten denn die beiden letzten Faktoren von $\begin{eqnarray*} (2n+2)! \end{eqnarray*}$ ?

30.01.2013, 13:28

StevenSpielburg

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2n!(2n+1)(2n+2)

30.01.2013, 15:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
alles klar habs schon, (2n+2)!=2n!(2n+1)(2n+2)

damit ist das kriterium auch recht einfach zu lösen und man kann auch die konvergenz beweisen.

Ah, hier stand es ja schon richtig, die zweite Seite hatte ich nicht gesehen.
Den letzten Beitrag überlese ich lieber.

$\begin{eqnarray*} (2n+2)!! \end{eqnarray*}$ wäre das Produkt aller geraden Zahlen bis $\begin{eqnarray*} 2n+2 \end{eqnarray*}$ , wenn du das meinst.

01.02.2013, 15:44

StevenSpielburg

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
okay danke, jetzt habe ich die also die bildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{(2n-1)!!}= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{\frac{(2n)!}{2^n*n!} } =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!*n!*2^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

so müsste das dann ja eigentlich stimmen, wie mache ich aber jetzt weiter? ich muss ja erstmal die Nullfolge bestimmen....die könnte ich zur Not ja auch noch über die Folgeglieder argumentieren, da der Nenner ja schneller gegen unendlich geht als der Zähler. Aber vielleicht gibts auch noch eine andere Möglichkeit.
Und welches Kritierium würde sich am besten eignen umd die Konvergenz zu beweisen?

01.02.2013, 16:46

Che Netzer

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Worauf möchtest du hinaus?
Dass man das Quotientenkriterium auch ohne Doppelfakultät wunderbar anwenden kann, habe ich oben schon angemerkt.

06.02.2013, 13:29

StevenSpielburg

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Wäre super, wenn mir noch jemand sagen könnte, wie ich am besten
an diesem Beispiel mit der Doppelfakultät oder mit der Fakultät im Allgemeinen die Nullfolge bestimmen kann. Dies ist ein notwendiges Kriterium, was wir immer bevor wir mit einen Kriterium die Konvergenz beweisen, bringen müssen. Bis jetzt habe ich einfach immer über die Folgeglieder argumentiert, jedoch ist dies ja nicht eine Betrachtung die für alle Folgeglieder gilt, und somit weiß ich nicht ob das korrent wäre in der Klausur.

06.02.2013, 13:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
Wäre super, wenn mir noch jemand sagen könnte, wie ich am besten
an diesem Beispiel mit der Doppelfakultät oder mit der Fakultät im Allgemeinen die Nullfolge bestimmen kann.

Welche Nullfolge? Möchtest du zeigen, dass die Summanden eine Nullfolge bilden?

Zitat:

Dies ist ein notwendiges Kriterium, was wir immer bevor wir mit einen Kriterium die Konvergenz beweisen, bringen müssen.

Bist du dir da ganz sicher? Ansonsten frag nochmal nach. Vielleicht wurde euch einfach nur nahegelegt, dieses Kriterium zuerst zu überprüfen bzw. du verstehst das Wort "notwendig" falsch.

Zitat:

Bis jetzt habe ich einfach immer über die Folgeglieder argumentiert, jedoch ist dies ja nicht eine Betrachtung die für alle Folgeglieder gilt

Den Teil verstehe ich nun gar nicht mehr?
Welche Betrachtung gilt nicht für alle Folgeglieder? Was hast du argumentiert?

06.02.2013, 14:08

StevenSpielburg

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Also Tatsache ist, dass wir immer erst die Nullfolge zeigen müssen, da falls die Reihe keine Nullfolge ist wir gar nicht weiter schauen müssen wie es mit der Konvergenz aussieht, da die Reihe dann divergent ist.

Unter Nullfolge stelle ich mir dann sowas vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(2n-1)!!} =0 \end{eqnarray*}$

Nur wie forme ich das ganze um, sodass ich auf eine Nullfolge komme.

Mit den Folgegliedern meinte ich einfach nur, dass wenn ich mir die Reihe anschaue, kann ich sehen das der Nenner sehr schnell viel größer wird als der Zähler und somit wahrscheinlich schneller gegen unendlich als der Zähler.

06.02.2013, 15:29

Jello Biafra

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
Also Tatsache ist, dass wir immer erst die Nullfolge zeigen müssen...

Und derjenige, der diese Anweisung vorgegeben hat ist tatsächlich Mathematiker? geschockt

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Unter Nullfolge stelle ich mir dann sowas vor...

Für diesen Begriff gibt es eine glasklare Definition.

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Nur wie forme ich das ganze um, sodass ich auf eine Nullfolge komme.

Du könntest z.B. einfach folgende Abschätzung zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n(n!)^2}{(2n)!}=\frac{2^n}{{2n \choose n}}=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{n+k}\leq\frac 2n\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Mit den Folgegliedern meinte ich einfach nur, dass wenn ich mir die Reihe anschaue, kann ich sehen das der Nenner sehr schnell viel größer wird als der Zähler und somit wahrscheinlich schneller gegen unendlich als der Zähler.

Solcherlei Betrachtungen sind für die persönliche Anschauung manchmal ganz nützlich - rein formal aber vollkommen wertlos.

06.02.2013, 16:38

StevenSpielburg

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Mh...okay auf so eine Form würde ich in der Klausur sicherlich nicht so leicht kommen.
ich kann diesen Ausdruck ja in diese Form umschreiben...

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*n!*2^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

evtl so einfacher? Tue mich etwas schwer mit den Abschätzungen
und würde es gerne über eine "rechnerische" Lösung einmal sehen.

06.02.2013, 18:37

Jello Biafra

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
...ich kann diesen Ausdruck ja in diese Form umschreiben...

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*n!*2^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

evtl so einfacher?

Hmh, genau dieser Term steht doch in meinem Beitrag oben.

Zitat:

Original von StevenSpielburg
Tue mich etwas schwer mit den Abschätzungen
und würde es gerne über eine "rechnerische" Lösung einmal sehen.

Diese Aussage verstehe ich nicht.

Unabhängig von dieser Aufgabe kann ich Dir nur empfehlen Dich mit der Produktzeichen vertraut zu machen. Damit folgt hier z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n(n!)^2}{(2n)!}=\prod_{k=1}^n \frac{2k}{n+k}=\frac 2{n+1}\prod_{k=2}^n\frac{k+k}{n+k}\leq\frac 2{n+1}\prod_{k=2}^n\frac{n+k}{n+k}=\frac 2{n+1}\leq\frac 2n. \end{eqnarray*}$

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