Umkehrfunktion

28.01.2013, 20:41

Vrenerl

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Umkehrfunktion

Meine Frage:
Hey! Soll die Umkehrfunktion von
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{4} +x+1 \end{eqnarray*}$
bilden.

Meine Ideen:
Na eigentlich eine klare Sache. Aber ich steh beim Umformen aufm Schlauch; ich seh den entscheidenden Schritt nicht, den ich bei der Umformung nun machen muss. Kann mir bitte jmd helfen?
Das hab ich :
$\begin{eqnarray*} y=2x^{4} +x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-1=2x^{4} +x \end{eqnarray*}$

Das Problem liegt jetzt bei meinen x...x bzw x^4 ausklammern bringt mir ja auch nix..?!
Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2013, 21:19

mYthos

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Vergiss es. Diese Gleichung nach x umzustellen ist algebraisch zwar nicht unmöglich, jedoch praktisch unmöglich. Wer kommt in der Schulmathematik auf eine solche Aufgabe?

mY+

28.01.2013, 21:24

Vrenerl

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oh

Augenzwinkern

ne bin in der Uni, aber ich dachte das wäre noch schulstoff(zumindest hat die dame gesagt, das sei aus der Schule bekannt-ich hab mich schon gewundert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Die Aufgabe hieß:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ->\mathbb R mit f:x-> 2x^{4}+x+1 \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f an der stelle yo=1;

Also kann ich das nicht lösen?

28.01.2013, 22:24

ElMessiah

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Kann mYthos nur zustimmen. Scheint auch für mich kaum möglich zu sein.

28.01.2013, 22:41

Vrenerl

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Ok

Augenzwinkern

herzlichen Dank für die Antworten! smile

smile

28.01.2013, 22:45

Bakatan

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Komplette Aufgaben helfen. Um die Ableitung der Umkehrfunktion an einer bestimmten Stelle zu bestimmen muss man nicht unbedingt die gesamte Umkehrfunktion kennen. In diesem Fall kann man f(0)=1 sofort sehen und dann such mal nach der Regel für Ableitungen von Umkehrfunktionen.

Und poste das nächste mal gleich die korrekte Angabe.

edit: Nur zum lachen: Ich fand es sehr amüsant - Wolfram drauf loslassen

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29.01.2013, 06:55

Vrenerl

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ui, da rechnet wolfram aber mit vollem Einsatz rum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hammer

29.01.2013, 07:10

Vrenerl

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gemäß der Umkehrregel muss ja gelten, dass
$\begin{eqnarray*} f'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und dass die Funktion diefferenzierbar ist; beides ist ja gegeben.
dann gilt, dass die Umkehrfkt. an der Stelle y=f(x) differenzierbar ist mit:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})' (y)=\frac{1}{f'(f^{-1} (y)} =\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Darf ich dann einfach mein y0 einsetzen? oder bin ich dann komplett aufm falschen weg?
ich würde da dann mit f'(x)= $\begin{eqnarray*} 8x^{3} +1 \end{eqnarray*}$ rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8*1+1} =\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 13:39

Bakatan

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Und wieso ist jetzt $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ in deiner Rechnung wobei doch $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

PS: die funktion geht hoffentlich von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 14:47

Vrenerl

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Also hab die Aufgabe mal angehängt.
Und noch ein Beispiel gefunden für die Umkehrregel
also, neuer Anlauf:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{4}+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=8x^{3}+1 \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} y=f(x)=2x^{4}+x+1 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} y'=f'(x)=8x^{3}+1 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{y-1}{8} } \end{eqnarray*}$ ->f(x) nach x umstellen
4) $\begin{eqnarray*} g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{8x^{3}+1 } \end{eqnarray*}$ -> f'(x) in Gleichung einsetzen

Ich weiß nicht ob das bis hierhin zumindest richtig ist...?

aber ab Schritt 5 bin ich ganz unsicher unglücklich

unglücklich

5) Ausdruck f'(x) soll durch y ersetzt werden : $\begin{eqnarray*} g'(y) = \frac{1}{4y^{3}+1 } \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 19:41

Bakatan

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Zitat:

[quote]Original von Vrenerl
Hey! Soll die Umkehrfunktion von
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{4} +x+1 \end{eqnarray*}$
bilden.

Zitat:

Aufgabe i) der eigentlichen Aufgabe:
Begründen sie, dass f nicht umkehrbar ist.

Da fällt einem doch auf, dass man eventuell mehr schreiben sollte verwirrt

verwirrt

Also nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sondern nach ii) die andere Seite (der von mir vorgeschlagene Bereich war nur sehr simpel gewählt und nicht maximal, es ist also nicht genau die andere Seite sondern etwas weniger). Da du bei der iii) bist, was sind denn die Lösungen der i) und ii) (nur zur Sicherheit)?

Zu deiner Rechnung:

Zitat:

3) $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{y\textcolor{red}{'}-1}{8} } \end{eqnarray*}$

welches uns nicht wirklich etwas bringt. Wir bekommen immer noch nicht die ganze Funktion, mach dir die Aufgabe nicht zu schwer. Es ist nur nach einer bestimmten Stelle gefragt und nicht nach der gesamten Funktion.

Bemerke
$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ und dementsprechend
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$

Jetzt kennen wir die Ableitung von f selbst aber wie bereits bemerkt nicht die gesamte Umkehrfunktion! Aber das ist nicht gefragt, wir wollen nur den Punkt $\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$ und den bekommt man viel einfacher (Achtung: da sich die Angabe ständig ändert gilt mein altes f(0)=1 nicht mehr, da wir auf die negative Seite gewechselt haben, siehe (ii) )

29.01.2013, 19:46

Vrenerl

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also bei i) hab eich: sie ist nicht umkehrbar, da sie für f'(-1) <0 ist und aber
für f'(1) >0 ist, also streng monoton fällt UND dann wächst.
ii) habe ich eingegrenzt auf $\begin{eqnarray*} (-\infty ; -\frac{1}{2} ] \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 19:55

Vrenerl

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wäre ja dann
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})('f(x))=\frac{1}{8x^{3}+1 } \end{eqnarray*}$
und der zweite Ausdruck verwirrt mich ehrlichgesagt unglücklich

unglücklich

dass ich nicht die komplette Umkehrfunktion brauch hab ich ja wenigstens verstanden; ich soll ja 'nur' die Stelle y0=1 angeben. Aber ich weiß hald gar nicht wie und wo ich das einsetzen soll, dass ich das rausbekomme...:/

29.01.2013, 20:25

Vrenerl

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$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=f(x)=2x^{4}+x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=2*0+0+1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y)= \frac{1}{8x^{3}+1 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(1)=1 \end{eqnarray*}$

Nun? verwirrt

verwirrt

29.01.2013, 22:49

Bakatan

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Wir gehen in die richtige Richtung.

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(1)=\frac{1}{f'(f^{-1}(1))} \end{eqnarray*}$

Deshalb hatte ich vorher geschrieben, dass f(0)=1, damit wir die Umkehrfunktion an der Stelle Eins kennen. Jetzt ist allerdings unser Problem, dass wir die Seite gewechselt haben, also die andere Stelle brauchen, wo die Funktion Eins wird (wir haben die Null in der (ii) ausgeschlossen). Hier mal der Graph:

29.01.2013, 23:03

Vrenerl

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also das ganze nun von der -1? unglücklich

unglücklich

30.01.2013, 00:47

Bakatan

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Die Funktion ist in entweder $\begin{eqnarray*} (-\infty, -\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2},\infty) \end{eqnarray*}$ umkehrbar (wie du bereits gesagt hast, erst fällt sie streng monoton, dann steigt sie streng monoton, ist also injektiv), wir haben uns für ersteres entschieden. Da ist die Null nicht dabei, also kann auch die Umkehrfunktion die Null nie erreichen. Folglich fällt unser sofort ersichtlicher Fall f(0)=1 weg. Es gibt aber in dem von uns gewählten Bereich ebenfalls eine Stelle, an der die Eins erreicht wird (sonst würde die Aufgabe wenig Sinn ergeben, siehe auch den Graphen). Diese ist nicht ganz so trivial, allerdings mit nicht allzuviel Aufwand berechenbar.

30.01.2013, 06:46

Vrenerl

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Guten morgen! Wink

Wink

Es wird an der Stelle -0,79370 nochmal die 1 erreicht. Leider habe ich das aber nun nur durch das Ablesen am Graphen herausgefunden und nicht durch Rechnung
Wie kommt man denn sonst auf diese (naja, sagen wir mal, eher un-schöne)Zahl?

$\begin{eqnarray*} f(-0,79370)=2*(-0,79370)-0,79370+1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8*(-0,79370)+1} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 08:22

Vrenerl

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ups, da war ein Fehler; ich meinte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8*(-0,79370)^{4}+1 } \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 10:01

Bakatan

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Jetzt ist einmal die das hoch 3 im Nenner verschwunden, das andere mal ist es zum hoch 4 geworden Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2x^4+x+1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^4+x=0\quad x\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^3+1=0 \end{eqnarray*}$

...

Dabei fällt auch auf, dass beim einsetzen dann mit x^3 wieder etwas schönes herauskommt.

30.01.2013, 10:16

Vrenerl

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sorry

Augenzwinkern

wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} 2x^{3} +1=0 \end{eqnarray*}$ ??

die Ableitung von f(x) ist doch $\begin{eqnarray*} 8x^{3} +1=0 \end{eqnarray*}$

Also nochmal
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8x^{3}+1 } \end{eqnarray*}$

x=-0,79370

ist dieses x überhaupt korrekt? Und wie komm ich denn durch Rechnung drauf? traurig

traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8*(-0,79370)^{3}+1 }=-1,000003976 \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 12:02

Bakatan

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Indem ich die Zeile darüber durch x dividiere.

Dein Ergebnis ist falsch (Rechenfehler beim ausrechnen des Bruchs)

Wie man auf x kommt siehe Rechnung post zuvor

30.01.2013, 12:12

Vrenerl

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$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{-0.5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-0,79370052... \end{eqnarray*}$

Dies wiederum in den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8x^{3} +1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-3,9999 +1} \end{eqnarray*}$

= ca. -0,33

30.01.2013, 14:15

Bakatan

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Freude

Du brauchst aber die Wurzel nicht erst ausrechnen und runden, da du später eh wieder hoch 3 brauchst. Es kommt also präzise -1/3 heraus.

30.01.2013, 14:49

Vrenerl

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und das ist nun also meine Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y0=1?

30.01.2013, 21:36

Vrenerl

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Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!! smile

smile

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