Verschoben! Determinante 4x4 Matrix

28.01.2013, 21:33

MathePaul

Determinante 4x4 Matrix

Hey Leute, ich versuch auf die Determinante dieser Matrix zu kommen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} b&a&a&a \\ a&b&a&a \\ a&a&b&a \\ a&a&a&b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gibts da irgendwie einen "Trick" oder muss ich das mit dem Gauß-Algorithmus lösen?

Viele Grüße
Paul

29.01.2013, 15:35

MathePaul

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RE: Determinante 4x4 Matrix
Ups, war nicht geplant, in die Schulmathematik zu posten verwirrt

Das Ding ist, ich soll die Determinanten bzw. die Determinante von A ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei } K \mbox{ ein Körper und } a,b\in K \mbox{. Für } n\geq 2 \mbox{ sei die Matrix } A = (a_{ij}) \in M_{n}(K) \mbox{ gegeben durch } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{ij} =\begin{cases} a, & \mbox{falls } i \neq j \\ b, & \mbox{falls } i=j \end{cases} \end{eqnarray*}$

Berechnen sie det(A).

Die Determinanten von n = 2 und n = 3 sind klar und schnell berechnet. Aber wie zeige ich die Determinanten für die Größe n?

Viele Grüße

29.01.2013, 17:11

Leopold

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Solche Aufgaben waren in letzter Zeit häufig hier im Board. Ob es ein "Trick" ist, weiß ich nicht. Aber du kannst einfach die zweite Zeile von der ersten, die dritte von der zweiten usw. bis schließlich die letzte von der vorletzten subtrahieren. Dadurch ändert sich die Determinante nicht. Abgesehen von der letzten Zeile, die gleich geblieben ist, steht jetzt in der Hauptdiagonalen überall $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ und in der ersten Nebendiagonalen überall $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Aus allen Zeilen außer der letzten kann man den Faktor $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ vor die Determinante ziehen. Das gibt vor der Determinante insgesamt $\begin{eqnarray*} (a-b)^{n-1} \end{eqnarray*}$ als Faktor, und wo vorher $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ stand, steht jetzt $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt überlege selbst, was noch zu tun ist, um eine obere Dreiecksmatrix herzustellen. Dann ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonalelemente.

29.01.2013, 18:42

MathePaul

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Zitat:

Original von Leopold
Solche Aufgaben waren in letzter Zeit häufig hier im Board. Ob es ein "Trick" ist, weiß ich nicht. Aber du kannst einfach die zweite Zeile von der ersten, die dritte von der zweiten usw. bis schließlich die letzte von der vorletzten subtrahieren. Dadurch ändert sich die Determinante nicht. Abgesehen von der letzten Zeile, die gleich geblieben ist, steht jetzt in der Hauptdiagonalen überall $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ und in der ersten Nebendiagonalen überall $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Aus allen Zeilen außer der letzten kann man den Faktor $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ vor die Determinante ziehen. Das gibt vor der Determinante insgesamt $\begin{eqnarray*} (a-b)^{n-1} \end{eqnarray*}$ als Faktor, und wo vorher $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ stand, steht jetzt $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt überlege selbst, was noch zu tun ist, um eine obere Dreiecksmatrix herzustellen. Dann ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonalelemente.

Super danke!!
Bin dadurch auf das Ergebnis gekommen, dass die Determinante von A, so aussieht:

$\begin{eqnarray*} det(A) = (a-b)^{n-1}*((-1)^{n-1}*((n-1)a+b)) \end{eqnarray*}$

was auch stimmt, (gestet mit Wolfram Alpha, mit mehreren Beispielen). Die Frage ist, wie mache ich das in der Klausur, kann ich das nicht irgendwie anders zeigen/ausrechnen. Da das jetzt schon ziemlich aufwändig war, und ich im Prinzip "nur" mit Beispielen drauf gekommen bin, ginge das noch irgendwie "eleganter" sozusagen :P ?

Vielen Gruß

29.01.2013, 19:26

MathePaul

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Bzw. ich habe zwar die Formel, die gilt zwar auch, aber ich kann ja leider nicht davon ausgehen durch Beispiele oder? Ich MUSS es doch induktiv also für n beliebig beweisen oder? Die Frage ist wie ich das hier mache geschockt

Klar kann ich die Matrizen immer in "Pünktchenschreibweise" hinschreiben und immer die Schritte machen, die ich bei den vorigen Beispielen (n = 2, n = 3, n = 4, n = 5) gemacht habe, aber ich darf ja gar nicht davon ausgehen, dass dies für alle beliebige n dann gilt, das wäre ja "zu einfach" oder?

Vielen Gruß

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