Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6

29.01.2013, 10:07

E=mc^2

Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6

Meine Frage:
Hallo,
Aufgabenstellung ist wie folgt:

Sei G von den Permutationen r:=(1 2 3 4 5 6) und s:= (1 2) (3 6 ) (4 5) erzeugte UG der symmetrischen Gruppe S6. Gebe alle Elemente von G sowie deren Ordnungen an.
Hinweis: srs = r^-1

Wie gehe ich hier am besten vor?

Meine Ideen:
Die Ordnung von S6 = 6! = 720 Elemente!

Ich kann doch S6 auch als Eckpunkte eines 6-Ecks auffasssen, oder?
Könnte ich dann nicht einfach mit der zugehörigen Diedergruppe die Elemente aufstellen? Mein Problem mit dieser Idee ist jedoch, dass die Diedergruppe dann Ordnung 12 und nicht wie S6 Ordnung 720 hat...
Für Hilfen wäre ich sehr dankbar! :-)

29.01.2013, 22:03

RavenOnJ

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RE: Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6

Zitat:

Original von E=mc^2

Könnte ich dann nicht einfach mit der zugehörigen Diedergruppe die Elemente aufstellen? Mein Problem mit dieser Idee ist jedoch, dass die Diedergruppe dann Ordnung 12 und nicht wie S6 Ordnung 720 hat...

Diesen Einwand verstehe ich nicht. Die von r und s erzeugte Untergruppe muss doch nicht dieselbe Mächtigekeit wie $\begin{align*} S_6 \end{align*}$ haben. In der Tat ist die erzeugte UG die Diedergruppe $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ , was natürlich noch zu zeigen wäre.

29.01.2013, 22:32

Mystic

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RE: Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6
Ich versteh auch die Idee gar nicht, denn um welche Gruppe es sich hier handelt, ist ja gar nicht gefragt... Und dass sie die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ ist, nützt in Hinblick auf die Aufgabenstellung herzlich wenig, wie ich finde... verwirrt

29.01.2013, 22:43

RavenOnJ

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RE: Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6

Zitat:

Original von Mystic
Ich versteh auch die Idee gar nicht, denn um welche Gruppe es sich hier handelt, ist ja gar nicht gefragt... Und dass sie die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ ist, nützt in Hinblick auf die Aufgabenstellung herzlich wenig, wie ich finde... verwirrt

Es hieß doch:

Zitat:

Original von E=mc^2
Meine Frage:
Sei G von den Permutationen r:=(1 2 3 4 5 6) und s:= (1 2) (3 6 ) (4 5) erzeugte UG der symmetrischen Gruppe S6. Gebe alle Elemente von G sowie deren Ordnungen an.

Man soll doch die Untergruppe angeben, die von r und s erzeugt wird, und diese ist isomorph zur Diedergruppe $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ . Natürlich muss man noch die einzelnen Elemente als Produkte von r und s angeben, da dies gefordert wurde. Wenn man die Elemente der UG mit Elementen der Diedergruppe $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ identifiziert, kann man beispielsweise die Frage nach den Ordnungen der Gruppenelemente beantworten, da man die Ergebnisse von $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ übernehmen kann.

29.01.2013, 22:56

Mystic

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RE: Untergruppe der symmetrischen Gruppe S6
Sorry, ich seh einfach nicht, inwiefern die Tatsache, dass dies die Diedergruppe ist, in Hinblick auf die eigentliche Aufgabenstellung von Nutzen sein soll, denn man muss ja ohnehin alle 12 Elemente und deren Ordnungen berechnen und dass diese Elemente alle von der Gestalt

$\begin{eqnarray*} r^i s^j (i=0,1,2,3,4,5, j=0,1) \end{eqnarray*}$

sind, ist ja spätestens nach dem Hinweis

$\begin{eqnarray*} srs=r^{-1} \end{eqnarray*}$

sonnenklar... Auch die Ordnung der Elemente sieht man ja, wenn man konsequent in der Zyklendarstellung rechnet, jeweils auf einen Blick, also erspart man sich auch da nichts...

29.01.2013, 23:04

RavenOnJ

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OK, du bist also der Meinung, dass die zusätzliche Information der Isomorphie mit $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ überflüssig ist. Vielleicht ist sie für dich überflüssig, weil du sofort die Struktur der UG erkennst. Aber vielleicht ist sie für den Fragesteller nicht überflüssig, weil er die $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ schon mal analysiert hat. So war mein Gedankengang, zumal er selber mit der $\begin{align*} D_6 \end{align*}$ angefangen hat, was mich darauf schließen ließ, dass diese Gruppe ihm näher bekannt ist. Und dass die Elemente alle die Form

$\begin{eqnarray*} r^i s^j (i=0,1,2,3,4,5, j=0,1) \end{eqnarray*}$

haben, muss man auch erst mal sehen und beweisen.

29.01.2013, 23:21

Mystic

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Meine erste Replik war ja auch nicht an dich, sondern an den Threadersteller gerichtet, der sich in seinen Ideen m.E. überflüssigerweise Gedanken über die Struktur der Gruppe macht, statt sich z.B. zu überlegen, dass eben die Elemente von der Form

$\begin{eqnarray*} r^i s^j (i=0,1,2,3,4,5, j=0,1) \end{eqnarray*}$

sein müssen, weil diese Elemente als Vereinigung zweier verschiedener Nebenklassen nach $\begin{eqnarray*} \langle r \rangle \end{eqnarray*}$ einerseits alle verschieden sind, und man andererseits bei der Produktbildung mithilfe von

$\begin{eqnarray*} r^6=s^2=id, \quad sr=r^5s \end{eqnarray*}$

immer wieder auf Ausdrücke dieser Gestalt kommt...

Edit: Aber die Diskussion ist ohnehin nur akademisch, auch wenn sie dem Threadersteller damit die Aufgabe noch weiter erleichtert hat... We may agree to disagree, wie die Engländer sagen würden... Augenzwinkern

29.01.2013, 23:27

RavenOnJ

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klar, das sollte er sich überlegen. Schaun mer mal, ob das jetzt hilfreich war, falls an der Aufgabe überhaupt noch Interesse besteht ...

31.01.2013, 09:52

E=mc^2

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Wow! Das nenn ich mal eine gute Antwort! :-)
Habe dies eben erst gelesen und werde mich nachher mit der Aufgabe beschäftigen. Meine Antwort poste ich dann natürlich auch hier!

Vielen vielen Dank schonmal!!!!!

31.01.2013, 11:35

E=mc^2

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Hoffentlich bekomme ich ein OK! :-)

Hier meine Lösung

Die 12 Elemente sehen wie folgt aus:

(1) ---> hat Ordnung 12
(123456) ---> hat Ordnung 6
(135) (246) ----> hat Ordnung 3
(14) (25) (36) -----> hat Ordnung 2
(153) (264) ----> hat Ordnung 3
(165432) ---> hat Ordnung 6

(12) (36) (45) --> haben alle Ordnung 2
(16) (25) (34)
(14) (23) (56)
(1) (26) (35) (4)
(15) (24) (3) (6)
(13) (2) (46) (5)

31.01.2013, 12:17

RavenOnJ

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(1) ist die Identität, also Ordnung 1. Du hast da jetzt einige Elemente aus $\begin{align*} S_6 \end{align*}$ aufgeschrieben mit ihren Ordnungen, die, soweit ich das überblicke, bis auf die eben erwähnte Ungenauigkeit richtig sind (ob diese Elemente die gesuchte Untergruppe bilden habe ich dabei nicht überprüft). Damit hast du aber noch nicht bewiesen, dass genau diese Elemente von $\begin{align*} r,s \end{align*}$ erzeugt werden und das ist doch vermutlich der wesentliche Punkt. Oder reicht einfach diese Aufzählung?

Im Übrigen kannst du bei Permutationen wie (13) (2) (46) (5) die Klammern mit einem Element weglassen, die Elemente werden auf sich selber abgebildet, also (13)(46). Die Identität sollte man wohl eher als $\begin{align*} id \end{align*}$ bezeichnen, da alle Elemente fest bleiben, also gar kein nichttrivialer Zyklus auftaucht.

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