Körpertheorie |
| 29.01.2013, 19:55 | E.Galois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Körpertheorie Hi wir wurden in der VL leider mit sehr vielen Begriffen aus der Körpertheorie überhäuft und daher wollte ich diese einmal klären: Sei im folgenden L/K Körpererweiterung 1.) algebraisch. Kann sich sowohl auf Element in L, falls es Nullstelle eines Polynoms in K[x] ist, als auch auf die gesamte Körpererweiterung beziehen, dann muss es eben für alle Elemente in L gelten. Endliche Körpererweiterungen sind stets algebraisch! Entgegen existieren transzendente Elemente(das sind solche mit unendlichem Erweiterungsgrad, denen man das Minimalpolynom 0 zuordnet) 2.) Polynom heißt separabel, wenn es im Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen besitzt(<=> teilerfremd zu seiner Ableitung). Ist dieses Polynom sogar über K[x] irreduzibel dann ist es separabel falls dessen ableitung nicht das nullpolynom ist. in Körpern der charakteristik 0 sind alle irreduziblen Polynome separabel. Jetzt frage ich mich, was eine inseparable Körpererweiterung ist: Bei wiki steht: Ein Beispiel für eine inseparable Körpererweiterung ist L=\mathbb{F}_p(X),\ K=\mathbb{F}_p(X^p)\subset L, denn das Minimalpolynom T^p-X^p\in K[T] des Erzeugers X zerfällt über L in (T-X)^p und hat somit X als p-fache Nullstelle. Hier wird doch nur eine p-te Wurzel aus einem Element eines p-ten Körpers hinzugefügt. Das verträgt sich aber imho nicht mit unserem Satz, dass alle endlichen körper perfekt sind, d.h. alle endlichen Körpererweiterungen separabel, denn das ist doch eine endliche Körpererweiterung. Außerdem haben wir gesagt, dass eine Körpererweiterung einfach ist, wenn es eine endliche separable Körpererweiterung ist. Ich frage mich nun, wie man allgemein bei "inseparablen Körpererweiterungen" an die Anzahl der Erzeuger kommt also an die a1, ...,an des Erweiterungskörpers K(a1,...,an) wodurch bestimmt sich deren Anzahl? Eine weitere Frage ist, wenn ich einen Körper habe und ein polynom vom Grad>=2 das irreduzibel ist und ich teile nach dem aus, dann habe ich ja einen neuen Körper. Ist dann a priori klar, dass dieser Körper auch eine Nullstelle meines Polynoms enthält oder kann es auch sein, dass er lediglich die Möglichkeit bietet über seinem Polynomring das vorher irreduzible Polynom, das z.B. Grad 4 hatte in Polynome vom Grad 2 zu faktorisieren?</task> Meine Ideen: Würde mich freuen, wenn jemand ein paar Worte hierzu sagen könnte. |
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| 30.01.2013, 21:29 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Körpertheorie
ist aber kein endlicher Körper. Es liegen ja die unendlich vielen Elemente drin. Und in der Tat ist dieser Körper nicht perfekt (Er ist sozusagen der einfachste nichtperfekte Körper), denn das Polynom ist irreduzibel, aber nicht separabel.
Naja eine Körpererweiterung muss ja irgendwie definiert werden. Meist wird das doch durch Erzeuger getan. Die Anzahl der Erzeuger ist aber natürlich nicht eindeutig.
Letzteres wird nicht passieren. Die Restklasse von ist immer eine Nullstelle von als Polynom in . |
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