Laplace Experiment: "Würfel wird 6x geworfen"

29.01.2013, 20:43

muff-in

Laplace Experiment: "Würfel wird 6x geworfen"

Hallo,

Ich bin wirklich am verzweifeln. Es ist ein einfaches Laplace Experiment, aber meine Lösungen stimmen nie mit den vorgegebenen Lösungen überein.
Ich glaube ich mache ein Denkfehler. Wär lieb, wenn sie mir jemand aufzeigen könnte.

Also:
Ein "Laplace Würfel wird 6-mal geworfen."
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten folgende Ereignisse auf?

a) E1 = "Keine 6"
b) E2 = "Genau eine 6"
c) E3 = "Höchstens eine 6"
d) E4 = "Jede Zahl genau einmal"

zu a)

Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt (da Laplace Experiment): Die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$
Wenn ich den Würfel nun 6-mal würfele, lautet das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{6} \end{eqnarray*}$

zu b)

"Genau eine 6" bedeutet doch so viel wie: In irgendeinem Wurf (von 6) muss eine 6 vorkommen; in den anderen Würfen KEINE 6.
Also wäre die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * (\frac{5}{6})^{5} \end{eqnarray*}$ .

zu c)

Ist das nicht das gleiche wie b) ???

d)

Wenn jede Zahl genau einmal vorkommen soll, und es nur 6 Zahlen und 6 Durchgänge gibt, muss in jedem dieser Durchgänge eine von den anderen Durchgängen verschiedene Zahl vorkommen. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{6})^{6} \end{eqnarray*}$

Hilfe!

29.01.2013, 20:53

srolle

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Zunächst mal zu a,b und c:

a) Stimmt. Freude

b) Stimmt fast. Hier hast du noch die möglichen Reihenfolgen bzw. Anordnungen vergessen.

c) Es ist fast das gleiche wie bei b). Wenn es heißt "höchstens eine 6" bedeutet das "keine oder genau eine 6"

Grüße

30.01.2013, 00:32

Delorios

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RE: Laplace Experiment: "Würfel wird 6x geworfen"
zu d)
Das stimmt so nicht. Überleg dir doch mal für jeden Wurf welche Augenzahlen zulässig sind.

30.01.2013, 10:02

Dopap

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d.) das wäre richtig, wenn die Reihenfolge vorgegeben wäre.
Wieviel verschiedene Zahlen gibt es, die aus den Ziffern 1,2,3,4,5,6 bestehen ?

30.01.2013, 12:24

muff-in

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@ srolle:

zu b)

Wie meinst du das mit den "Reihenfolgen bzw Anordnungen"? Ist das nicht egal, in welchem Wurf die 6 auftritt?
Und bei der Multiplikation herrscht doch sowieso das Kommutativ-Gesetz.

Trotzdem ist meine Lösung auch in der Lösungsangabe falsch. unglücklich

zu c)

Ist dann das Ergebnis $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{5} * b) \end{eqnarray*}$ ?

Irgendwie verstehe ich es trotzdem nicht. unglücklich

@Dopap/ Delorios:

Nachdem ich das erste mal gewürfelt habe, habe ich ja nur noch 5 weitere Zahlen die ich würfeln darf.
Und nach dem zweiten Wurf, nur noch 4. Und nach dem 3. Wurf nur noch 3 usw.

Aber wie setze ich das jetzt in ein Term um?

Hat das etwas mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun?

Das einzige was mir einfallen würde, wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{6}*\frac{5}{6}*\frac{4}{6}*\frac{3}{6}*\frac{2}{6}*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Und das kann doch nicht stimmen oder??! unglücklich

30.01.2013, 12:49

srolle

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Also die d) stimmt so. Freude

Zu b) Überlege mal, du kannst ja z.b. im ersten Wurf keine 6 Würfeln und dann in den 5 folgenden Würfen eine 6. Aber es kann auch sein, dass du zuerst 6, dann keine 6 und dann wieder viermal die 6 würfelst. Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$ mögliche Anordnungen/Reihenfolgen für das Ereignis. Deshalb musst du deine Wahrscheinlichkeit mit 6 multiplizieren.

c) Wenn für ein Ereignisse mehrere Ergebnisse (hier: "keine 6" oder "genau eine 6") in Frage kommen, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit. Heißt, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe aus den möglichen Ergebnissen ist. Also?

30.01.2013, 13:12

muff-in

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@ srolle

Ich kann mir vorstellen, dass ich nerve, aber leider verstehe ich es immer noch nicht. unglücklich

Zitat:

Überlege mal, du kannst ja z.b. im ersten Wurf keine 6 Würfeln und dann in den 5 folgenden Würfen eine 6. Aber es kann auch sein, dass du zuerst 6, dann keine 6 und dann wieder viermal die 6 würfelst.

Aber ich darf die 6 doch nur einmal würfeln.

Also alle Ereignisse die Auftreten können wären ja:

x= irgendeine Zahl

1: 6|x|x|x|x|x
2: x|6|x|x|x|x
3: x|x|6|x|x|x
4: x|x|x|6|x|x
5: x|x|x|x|6|x
6: x|x|x|x|x|6

Also es gibt 6 Möglichkeiten. Und insgesamt kann ja beim 6-maligen Würfeln $\begin{eqnarray*} 6^{6} \end{eqnarray*}$ verschiedene Kombinationen auftreten.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^{6}} \end{eqnarray*}$ ????

Wie meinst du das, dass ich es mit 6 multiplizieren muss?

In den Lösungen ist das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{6*5^{5}}{6^{6}} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 13:36

muff-in

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Aaaaah moment, ich glaube jetzt hab ich es verstanden.

Also ich dachte ja es gibt 6 Möglichkeiten. Aber die X in meinen aufgeführten Möglichkeiten dürfen ja jede von 6 verschiedene und kleinere Zahl annehmen (1,2,3,4 oder 5).

Daraus folgt:

1: 6|x|x|x|x|x -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
2: x|6|x|x|x|x -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
3: x|x|6|x|x|x -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
4: x|x|x|6|x|x -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
5: x|x|x|x|6|x -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
6: x|x|x|x|x|6 -> Für die diese Variante gibt es $\begin{eqnarray*} 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Also gibt es insgesamt $\begin{eqnarray*} 6* 5^{5} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Das ganze wird dann durch die Anzahl aller Möglichen Kombination $\begin{eqnarray*} 6^{6} \end{eqnarray*}$ dividiert.

Und Voilá:

das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{6*5^{5}}{6^{6}} \end{eqnarray*}$

Aber ich glaube meine Denkweise ist ziemlich umständlich.
Kanst du mir deine nochmal erklären?

zu c)

Dann wäre das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{6*5^{5}}{6^{6}} + (\frac{5}{6})^{6} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 15:59

srolle

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Argh, tut mir leid, da hatte ich mich mit dem Ereignis vertan unglücklich

Zitat:

Überlege mal, du kannst ja z.b. im ersten Wurf eine 6 Würfeln und dann in den 5 folgenden Würfen keine 6. Aber es kann auch sein, dass du zuerst keine 6, dann eine 6 und dann wieder viermal keine 6 würfelst.

So stimmt es nun.

Deine Lösung ist in der Tat etwas umständlich, aber dennoch richtig. Einfacher machst du es dir, indem du lediglich zwischen "6" und "Nicht 6" unterscheidest:

Angenommen du würfelst jetzt im ersten Zug die 6 und in den restlichen 5 "Nicht 6" (also bei dir 6|x|x|x|x|x), dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 \end{eqnarray*}$ .

Da es aber 6 Anordnungen von (6|x|x|x|x|x) gibt, die du schon aufgezählt hast, kannst du die Wahrscheinlichkeit einfach mit 6 multiplizieren, da die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Anordnungen gleich ist.

Falls noch Fragen sind, trau' dich ruhig.

30.01.2013, 18:32

muff-in

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Nope alles klar Augenzwinkern

Danke für deine Hilfe smile

30.01.2013, 18:58

Dopap

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Zitat:

Original von muff-in
Das einzige was mir einfallen würde, wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{6}*\frac{5}{6}*\frac{4}{6}*\frac{3}{6}*\frac{2}{6}*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Und das kann doch nicht stimmen oder??! unglücklich

doch das ist richtig Freude

Wenn wir mit Reihenfolge betrachten, dann hatten wir:

$\begin{eqnarray*} (\frac 16)^6 \end{eqnarray*}$ jetzt können aber die 6 Ziffern auf $\begin{eqnarray*} 6!=1\cdot 2\cdot3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \end{eqnarray*}$

Arten permutieren, wenn die Reihenfolge egal ist, demnach:

$\begin{eqnarray*} (\frac 16)^6 \cdot 1\cdot 2\cdot3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \end{eqnarray*}$

und das ist, auf einen Bruch geschrieben genau dein Ergebnis.

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