Wert einer Reihe bestimmen

29.01.2013, 23:13

MatheProfalaCart

Wert einer Reihe bestimmen

Meine Frage:
Moooin,
ich hab ne Frage, ich lerne gerade für eine Analysis Klausur für die Uni.
Gegeben ist folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k^{2} + 7k + 12} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich soll beweisen dass es absolut konvergent ist, das mach ich wahrscheinlich mit dem Majorantekriterium..

Welche Aufgabenstellung mir aber schwierigkeiten beschert, ist die Bestimmung des Wertes der Reihe. Wie genau mache ich das?
Danke für die Antworten!

29.01.2013, 23:17

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
Ich würde es mit einer Partialbruchzerlegung angehen um anschließend eine geometrische Reihe zu erhalten.

29.01.2013, 23:17

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!

Zitat:

Original von MatheProfalaCart
Welche Aufgabenstellung mir aber schwierigkeiten beschert, ist die Bestimmung des Wertes der Reihe. !

Das ist ne Teleskopreihe. Partialbruchzerlegung ist das Stichwort.

30.01.2013, 12:29

MatheProfalaCart

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
Ok, danke schonmal für die Hinweise..Ich kann allerdings nichts mit Partialbruchzerlegung anfangen, in meinem Skript steht davon nichts und im Internet finde ich nur scheiße..Könnte mir das vllt noch jemand näherbringen?

30.01.2013, 12:32

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Faktorisier doch mal $\begin{eqnarray*} k^2+7k+12 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

30.01.2013, 12:34

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
Das lernt man eigentlich auch in der Schule schon. Wir haben hier einen guten Workshop, in dem verschiedene Methoden erklärt und einige Beispiel gerechnet werden.

WS: Partialbruchzerlegung

Du wirst dich da wohl oder übel erst einmal einarbeiten müssen. Wenn ich jetzt mit irgendwelchen Erklärungen anfangen würde, würde ich auch nur das schreiben, was im Workshop ohnehin schon drin steht. Bei speziellen Verständnisfragen können wir dann hier weiter machen.

30.01.2013, 12:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
Man könnte sich die Partialbruchzerlegung hier aber auch "erschummeln", ähnlich wie in
$\begin{eqnarray*} \frac1{k(k+1)}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}\,. \end{eqnarray*}$
Also erstmal nur den Nenner faktorisieren Augenzwinkern

Edit: Und Partialbruchzerlegungen hatten wir in der Schule gar nicht mehr.
An der Uni kommt sie bei uns aber "sogar" bei den Ingenieuren dran.

30.01.2013, 12:43

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
Hmm, ich meine, dass wir das damals wohl hatten. Ist aber auch schon eine ganze Weile her.

Jedenfalls bin ich schon der Meinung, dass man eine PBZ drauf haben sollte, wenn man eine Analysis-Klausur zu Schreiben hat. Wenn man sich's hier "erschummelt", hängt man dann irgendwann später an anderer Stelle. Und wenn das dann in der Klausur der Fall ist, ist es doppelt ärgerlich, wenn man wegen sowas Punkte liegen lässt.

30.01.2013, 13:54

MatheProfalaCart

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wer einer Reihe bestimmen!
So also dann Forme ich mal um
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}+7k+12 } = \frac{1}{(k+3)(k+4) } = \frac{1}{(k+3) } - \frac{1}{(k+4)} \end{eqnarray*}$
So ungefähr hab ich das jetzt aus Der Partialbruchzerlegung entnommen.. Dann auf beiden Seiten *(k+3)
Dann bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+4} = 1 - \frac{1*(k+3)}{k+4} \end{eqnarray*}$
Da jede Folge gegen 0 laufen muss, damit die Reihe konvergiert, setze ich jetzt für k=0 ein.

Und dann kriege ich 1/4 als Ergebnis..

Ist das soweit Richtig??

30.01.2013, 14:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheProfalaCart
Dann auf beiden Seiten *(k+3)

Wieso das denn? unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4} \right) \end{eqnarray*}$ ist doch eine waschechte Teleskopreihe, die sofort auswertbar ist - und NICHT mit dem Endresultat 1/4.

30.01.2013, 14:06

MatheProfalaCart

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie wertet man die teleskopreihe aus?

30.01.2013, 14:14

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du mal nachgeschaut, was eine Teleskopreihe eigentlich ist?

Ansonsten schreib mal die ersten zwei, drei Summanden hin, dann sollte dir ein Muster auffallen.

30.01.2013, 14:34

MatheProfalaCart

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok verstehe..
also heben sich alle summanden weg bis auf das erste (1/3) und das letzte

edit: das letzte läuft gegen 0 bzw wird irgendwann null also bleibt nur noch 1/3 übrig und das ist der wert

30.01.2013, 14:40

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheProfalaCart
also heben sich alle summanden weg bis auf das erste (1/3) und das letzte

So ist es. Wobei "das letzte" etwas seltsam ist, wenn man's bis unendlich laufen lässt. Da gibt es in dem Sinne ja keinen "letzten Summanden".

Schreib's doch so auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left ( \frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4} \right ) = \frac{1}{3} - \frac{1}{n+4} \end{eqnarray*}$

Also erstmal die n-te Partialsumme betrachten. Und dann betrachte $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ . Das ist dann die ausführliche Variante und formal in Ordnung. Denn:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left ( \frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4} \right ) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \left ( \frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4} \right ) = ... \end{eqnarray*}$

Und in der Tat kommt da dann 1/3 raus.

(Edit: (n+4) musste das oben natürlich heißen)

30.01.2013, 14:44

MatheProfalaCart

Auf diesen Beitrag antworten »

Fresh, vielen Dank für die Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Wert einer Reihe bestimmen

Verwandte Themen