Komplexe Zahlen Gleichung lösen

30.01.2013, 12:01

Pumba

Komplexe Zahlen Gleichung lösen

Meine Frage:
Guten Tag,

ich stecke zur Zeit in meinen Prüfungsvorbereitungen und brauche Eure Hilfe!

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung z^{4} + 8 = -8 \sqrt{3}j . Geben Sie die Ergebnisse in arithmetischer Form an.

Meine Ideen:
Ich weiß leider nicht wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.

30.01.2013, 12:07

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Stelle zuerst einmal nach $\begin{eqnarray*} z^4=a+bi=x \end{eqnarray*}$ um und berechne den Betrag der Zahl $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ .

Dann stelle $\begin{eqnarray*} x=a+bi=|x| \cdot (a'+b'i) \end{eqnarray*}$ dar und stelle das in Exponentialdarstellung dar, danach kann man bequem die vierten Wurzeln ziehen.

30.01.2013, 12:07

Pumba

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$\begin{eqnarray*} z^{4} + 8 = -8 \sqrt{3}j \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 12:17

lgrizu

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Nun löse nach $\begin{eqnarray*} z^4 \end{eqnarray*}$ auf......

30.01.2013, 12:22

Pumba

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
$\begin{eqnarray*} z^4 = -8 -8\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z^4 = a +bj =x \end{eqnarray*}$

Betrag $\begin{eqnarray*} a+bj \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 8 + 8\sqrt{3}j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 8 + 8\sqrt{3}j *(0+0j) = 8 + 8\sqrt{3}j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z= 16*e^{j60} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Allgemein anwendbar? oder wie sieht es aus wenn ich z^3 hab?

30.01.2013, 12:26

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Also ich steige durch deine Ausführungen nicht durch.....

Was richtig ist:

$\begin{eqnarray*} z^4=-8-8 \sqrt{3}j \end{eqnarray*}$

Ferner ist richtig, dass $\begin{eqnarray*} |-8-8 \sqrt{3}|=16 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie gesagt, den Rest und insbesondere die letzte Zeile verstehje ich nicht.

Aber lass uns erst mal nur die Zahl $\begin{eqnarray*} -8-8 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Schreib diese einmal in die Form $\begin{eqnarray*} 16 \cdot (a+bi) \end{eqnarray*}$ , also multipliziere den Betrag aus.

30.01.2013, 14:41

Pumba

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Sry bin ein wenig lahm, muss parallel noch arbeiten Big Laugh

die letzte zeil: $\begin{eqnarray*} z = 16*e^{j60} \end{eqnarray*}$ sollte die Exponentialdarstellung der Zahl sein?

$\begin{eqnarray*} 16*(-8+(-8\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 15:43

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen

Zitat:

Original von Pumba

$\begin{eqnarray*} 16*(-8+(-8\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

Das ist ziemlich daneben und entspricht, wenn man es ausmultipliziert auch nicht der Zahl...

Du sollst:

$\begin{eqnarray*} -8-8 \sqrt{3}=16 \cdot (......) \end{eqnarray*}$ darstellen!

Ws muss in der Klammer stehen?

30.01.2013, 15:50

Pumba

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
$\begin{eqnarray*} 16*(-0,5-((8*\sqrt{3} )/16) \end{eqnarray*}$ ?

30.01.2013, 17:24

original

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen

Zitat:

Original von lgrizu

Das ist ziemlich daneben und entspricht, wenn man es ausmultipliziert auch nicht der Zahl...

Du sollst:

$\begin{eqnarray*} -8-8 \sqrt{3}=16 \cdot (......) \end{eqnarray*}$ darstellen! ..... unglücklich

... <-

-> Achtung: ihr habt da ein paar Mal (beim zweiten Summanden) den Faktor * j vergessen

und der ist hier nicht ganz unwesentlich .. smile

30.01.2013, 17:38

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Hups, jap, geht auf mich zurück....

Also, ist richtig, wir haben:

$\begin{eqnarray*} -8-8\sqrt{3}i=16 \cdot \left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3}i \right) \end{eqnarray*}$ , wenn man im Imaginärteil noch kürzt.

Nun möchten wir das in die Exponentialdarstellung bringen, eine Idee dazu?

01.02.2013, 11:11

Pumba

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Ne, nicht wirklich...

Also Exponentialdarstellung: $\begin{eqnarray*} z=r*e^{xj*phi} \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} r= \sqrt{(a)^2+(b^2)} \end{eqnarray*}$

Aber was ist jetzt mein a respektive mein b. In der Regel liegt mir die Gleichung $\begin{eqnarray*} z=a+bj \end{eqnarray*}$ vor. Ist $\begin{eqnarray*} a= -1/2 und b= -1/2\sqrt{3j} \end{eqnarray*}$ ? Der 16 würde ich dann keine Beachtung schenken.

01.02.2013, 11:37

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Gleichung lösen
Wir haben r doch bereits ausgerechnet, das ist $\begin{eqnarray*} r=16 \end{eqnarray*}$ , da kommt doch die 16 überhaupt her....

Ferner haben wir die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} r \cdot (a+bi)=r \cdot ( \cos \phi+i \sin \phi )=r \cdot \exp(i \phi) \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} |a+bi|=1 \end{eqnarray*}$ , denn der Betrag ist ja gerade r und der wurde ausgeklammert.

Nun alos mal durch Koeffizientenvergleich das Argument bestimmen.

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