Basis bestimmen.

30.01.2013, 14:42

1=0!

Basis bestimmen.

Es seinen K einer Körper und V.=Mat2x2(K) der Vektorraum der 2x2-Matritzen über K. Des weiteren seien A:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ element V und A tilde:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

W1:={B element V| BA=AB},W2:={B element V|BA tilde=A tilde B

Aufgabe) Bestimmen sie jeweils eine Basis W1 und von W2 und geben sie die Dimension an.

Meine Vermutung ist, dass A und A tilde selber die basen des jeweilgen LT sind und die dimension jeweils 1 ist.

Wie ich das zeigen soll keine Ahnung. Dass es sich bei W1 und "s um LT handelt habe ich bereits gezeigt.

01.02.2013, 13:29

1=0!

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Hilfe?

01.02.2013, 13:37

Mazze

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Als erstes würde ich mir anschauen wie eine Matrix B aussehen muss, damit

$\begin{eqnarray*} AB = BA \end{eqnarray*}$ gilt bzw. $\begin{eqnarray*} \tilde{A}B = B\tilde{A} \end{eqnarray*}$ .

Erst dann kannst Du Dir Gedanken über eine Basis machen, denn ohne zu wissen wie die B's aussehen, wie sollst Du da eine Basis der Bs finden?

01.02.2013, 14:09

1=0!

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U_1={A element V|A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,a,b element K}

Als Basis habe ich dann

B:=( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

U_2 müsste dann ja ähnlich gehen...

01.02.2013, 14:16

Mazze

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Du sollst nicht die Basis der Matrizen mit der Form A finden , Du sollst die Basis des Vektorraumes der Matrizen finden, die mit A kommutieren. Sprich, Du willst wissen wie die Bs aussehen nicht wie die As aussehen.

Aber um es mal zu konkretisieren:

$\begin{eqnarray*} AB = \begin{pmatrix}b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} BA = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{11} + b_{12} \\ b_{21} & b_{21} + b_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} AB = BA \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{11} + b_{12} \\ b_{21} & b_{21} + b_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus der Lösungsmenge dieses LGS kannst Du die Basis des Vektorraums bekommen.

01.02.2013, 14:28

1=0!

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Die Gleichung die du aufgeschrieben hast habe ich auch aufgeschrieben.

Darauf folgt ja unmittelbar b_21=0 und b_22=b_11 , wodurch alle Matritzen die Form haben die ich oben gepostet habe. geschockt

01.02.2013, 14:34

Mazze

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Zitat:

Darauf folgt ja unmittelbar b_21=0 und b_22=b_11 , wodurch alle Matritzen die Form haben die ich oben gepostet habe

Ich habs jetzt auch mal durchgerechnet und Du hast recht. Entsprechendes kannst Du natürlich auch für den zweiten Teil tun.

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