Frage zu komplexen Zahlen

30.01.2013, 16:40

Philipp68

Frage zu komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hey,

habe eine Gleichung bei der ich nicht weiterkomme.
Bitte um Hilfe!

$\begin{eqnarray*} z² = 8 -15i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1.

$\begin{eqnarray*} |z| = 17 \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} cos \phi = \frac{8}{17} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin \phi = \frac{-15}{17} \end{eqnarray*}$

nun weiß ich nicht, wie ich den Winkel rausbekomme. Die restlichen Schritte weiß ich, es geht nur um den Winkel phi!!! Wir dürfen in der Prüfung keinen Taschenrechner und nur eine Winkeltabelle benutzen.

30.01.2013, 16:46

Steffen Bühler

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RE: Frage zu komplexen Zahlen
Was steht denn in so einer Winkeltabelle drin?

Viele Grüße
Steffen

30.01.2013, 17:26

Philipp68

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RE: Frage zu komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Was steht denn in so einer Winkeltabelle drin?

Viele Grüße
Steffen

Die Tabelle ist vom Prinzip so aufgebaut,

http://images.onlinemathe.de/images/frag...d239e57a9d0.JPG

30.01.2013, 17:46

zyko

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RE: Frage zu komplexen Zahlen
Der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wird nicht explizit benötigt; denn es gilt
$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos(\phi))} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos(\phi))} \end{eqnarray*}$ .
D.h. du kannst zum Abschluss der Berechnung die Winkelfunktionswerte wieder durch deine Brüche ersetzen.

30.01.2013, 18:22

Philipp68

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RE: Frage zu komplexen Zahlen

Zitat:

Original von zyko
Der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wird nicht explizit benötigt; denn es gilt
$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos(\phi))} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos(\phi))} \end{eqnarray*}$ .
D.h. du kannst zum Abschluss der Berechnung die Winkelfunktionswerte wieder durch deine Brüche ersetzen.

Könnest du mir erklären, wie du auf diese Gleichungen kommst?

31.01.2013, 13:05

zyko

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RE: Frage zu komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Philipp68

Könnest du mir erklären, wie du auf diese Gleichungen kommst?

Diese Gleichungen stehen in jedem vernünftigen Mathematikbuch, z.B. Bronstein et al., Taschenbuch der Mathematik.
Am Beispiel des cos wird die rechte Seite umgeformt, sodass sich wieder die linke ergibt:
$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos(\phi))} \\<br /> =\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)} \end{eqnarray*}$
da
$\begin{eqnarray*} \sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right)=\cos(\phi) \end{eqnarray*}$

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