Normalverteilung - Verständnis von Aufgabe

30.01.2013, 19:06

Tipso

Normalverteilung - Verständnis von Aufgabe

Hallo,

1.
In einer Gesellschaft von 100.000 Einwohnern sei das Monatseinkommen annäherend normalverteilt mit Mittelwert 1900 Euro und Standartabweichung 200 Euro.

a.
Schätzen und begründen Sie, wie viele Einwohner mehr als 2500 Euro verdienen.

Zitat:

Ich will dies genau berechnen.

Nun habe ich drei Ansätze, erhalte aber nur zweimal das gleiche Ergebnis.

1.
$\begin{eqnarray*} \mu + 3\sigma = 99,7 % /2 = 49,85%; 0,5-0,49,85 = 0,15% \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} 1 - \left( \mu + 3\sigma\right) = 0,003/2 = 0,0015 = 0,15% \end{eqnarray*}$

3.
Auf der Standartnormalverteilungstabelle lese ich bei 3 den Wert ab:
= 0,99865

$\begin{eqnarray*} 1 - 0,9985 = 0,00135 = 0,135% \end{eqnarray*}$

Warum erhalte ich hier ein anderes Ergebnis, obwohl es eigentlich dasselbe sein müsste.
Da ich von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ drei nach Rechts gehe und bei $\begin{eqnarray*} \mu + 3\sigma \end{eqnarray*}$ lande, die Fläche von hier erhält
$\begin{eqnarray*} \mu - 3\sigma \end{eqnarray*}$ und den Rest. Also minus die Gesamtfläche, dann erhalte ich doch die genau die gesuchte Fläche.

Abschlussfrage:
Wie berechne ich Wie viele es sind?

lg

30.01.2013, 20:44

Bürgi

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RE: Normalverteilung - Verständnis von Aufgabe

Zitat:

3.
Auf der Standartnormalverteilungstabelle lese ich bei 3 den Wert ab:
= 0,99865

$\begin{eqnarray*} 1 - 0,9985 = 0,00135 = 0,135% \end{eqnarray*}$

Warum erhalte ich hier ein anderes Ergebnis, obwohl es eigentlich dasselbe sein müsste.

Du hast einen ziemlich dicken Finger, denn tatsächlich hast Du gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 1 - 0,998\color{red}6\color{black}5 = 0,00135 = 0,135% \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 23:54

Tipso

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Dies stimmt ja auch so, 0,9985 ist ein Tippfehler.

In meiner Standardnormalverteiltstabelle lese ich für z = 3 = 0,99865 ab.

Entweder diese Lösung ist richtig und die 0,15% war nur eine Näherung also ist 0,135% genauer, oder ich habe einen Fehler.

lg

31.01.2013, 12:22

Dopap

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$\begin{eqnarray*} p(X>2500)=1-\Phi(3)=0.00135 \end{eqnarray*}$

ist doch richtig und beantwortet die Frage.

Es ist $\begin{eqnarray*} P(X>2500)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_3^{ \infty} \, e^{-\frac 12 t^2} \dd t \end{eqnarray*}$

die Fläche ab t=3

Was du aber bei 1.) und 2.) rechnest, ist mir nicht verständlich.

31.01.2013, 13:19

Tipso

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Hi,

Habe meinen Formfehler gefunden.
Es handelt sich um eine Standartnormalverteilung.

1.
$\begin{eqnarray*} \mu \pm 3\sigma = 99,7 % /2 = 49,85%; 0,5-0,49,85 = 0,15% \end{eqnarray*}$

Ist nun verbessert.

2.
$\begin{eqnarray*} 1 - \left( \mu \pm 3\sigma\right) = 0,003/2 = 0,0015 = 0,15% \end{eqnarray*}$

hoffe es passt so.
Den Ergebnisunterschied zu 3 begründe ich damit, dass die obigen 2 nur eine Annäherung ist und 3 die exakte Lösung.

lg

01.02.2013, 01:48

dinzeoo

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Zitat:

Original von Tipso
Den Ergebnisunterschied zu 3 begründe ich damit, dass die obigen 2 nur eine Annäherung ist und 3 die exakte Lösung.

richtig, der fehler liegt in der anzahl der kommastellen Augenzwinkern

du rundest auf nur eine kommastelle.

mal sauber formuliert, $\begin{eqnarray*} X \sim N(1900,200^2) \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} P(1900\leq X \leq 2500)\approx 0.9973002039\approx 0.9973 \approx 0.997 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 1-P(1900\leq X \leq 2500)\approx 0.0026997961\approx 0.0027\approx 0.003 \end{eqnarray*}$

umformuliert in deine notation, die mir mir eigentlich garnicht gefällt und auch nur bedingt sinn ergibt:

$\begin{eqnarray*} \mu \pm 3\sigma = 99,73002039 % \end{eqnarray*}$

usw....

01.02.2013, 01:50

dinzeoo

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ups, kleiner fehler unterlaufen...
bei 1. und 2. muss natürlich P(1300<X<2500) stehen.

01.02.2013, 13:53

Tipso

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Meine Notation ist schon richtig, meiner Meinung nach.

Danke für deine Tipps.

lg

01.02.2013, 17:25

dinzeoo

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Zitat:

Original von Tipso
Meine Notation ist schon richtig, meiner Meinung nach.

es mag sein, dass dein lehrer auch diese notation verwendet, das ist aber für mich kein grund sie zu akzeptieren, wobei so ein wirrwarr selbst lehrer nicht bringen werden.
man kann sich natürlich alles so zurecht definieren das es für dich richtig ist aber dann kann damit keiner mehr was anfangen.

weil das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu + 3\sigma = 99,7 % /2 = 49,85%; 0,5-0,49,85 = 0,15% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - \left( \mu + 3\sigma\right) = 0,003/2 = 0,0015 = 0,15% \end{eqnarray*}$

ergibt nach üblichen notationen -ehrlich gesagt- ÜBERHAUPT keinen sinn. für mich ist

$\begin{eqnarray*} \mu+3\sigma=1900+600=2500\not=99.7% \end{eqnarray*}$

und auf die brüche, die da aufeinmal auftauchen will ich garnicht erst eingehen.

das soll jetzt nicht böse gemeint sein, mir war klar was du damit meintest aber nur weil ich die thematik von vorne bis hinten inklusive entsprechender ergebnisse kenne. wenn man mathematik aber richtig betreibt, wirst du es zu schätzen wissen, dass zum einen du eine richtige notation beherrschst und zum anderen dein gegenüber auch eine gängige notation verwendet.

02.02.2013, 23:02

Tipso

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Hi,

Natürlich gebe ich dir hierbei vollkommen Recht.

Ich hatte meine Angaben ausgebessert.

Zitat:

Original von Tipso

1.
$\begin{eqnarray*} \mu \pm 3\sigma = 99,7 % /2 = 49,85%; 0,5-0,49,85 = 0,15% \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} 1 - \left( \pm 3\sigma\right) = 0,003/2 = 0,0015 = 0,15% \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst, der Unterschied von 1,2 zu 3 ist die Aufrundung.

lg

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