Komplexe Zahl vereinfachen

30.01.2013, 19:24

Patrick1990

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Komplexe Zahl vereinfachen

Hallo, habe hier noch ein Problem, wo ich nicht so recht voran komme.
Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} z=5i-\sqrt{3}+\frac{4-2i}{1+2i} \end{eqnarray*}$

Zunächst wollte ich erstmal den Bruch weg bekommen. Dazu habe ich vesucht mit $\begin{eqnarray*} (1+2i) \end{eqnarray*}$ zu erweitern. Komme jedoch schon bald an meine Grenzen, denn das was ich erhalte sind $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}i \end{eqnarray*}$ . Wahrscheinlich habe ich dort schon etwas falsch gemacht oder?

30.01.2013, 19:27

lgrizu

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RE: Komplexe Zahl vereinfachen
Erweitere den Bruch mit (1-2i), man nimmt stets das komplex konjugierte, dritte binomische Formel zeigt, dass dann der Imaginärteil (im Nenner) verschwindet.

30.01.2013, 19:42

Patrick1990

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Danke hätte ich selbst drauf kommen müssen, habe mich auch in meinem Post im Vorzeichen verschrieben, also immer mit (1-2i) erweitert, trotzdem zu schlampig gerechnet.

30.01.2013, 20:10

Patrick1990

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Wie genau bestimmt ich hier das Argument von z?

30.01.2013, 20:16

lgrizu

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'Wie schaut denn deine Zahl nun in algebraischer Form aus?

30.01.2013, 20:26

Patrick1990

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Z=3i-sqrt(3)

Ich habe mich jetzt belesen, komme über den arccos für b >=0 auf 2pi/3 als Argument von z. Ich habe aber mal etwas gehört, dass in dem Punkt Sinus und Cousins übereinstimmen müssen (nur in umgekehrte Richtung). Ist da was dran? Wenn ja, wie prüfe ich dies?

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30.01.2013, 20:29

lgrizu

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Wenn du nichts dagegen hast können wir das gerne ausführlich gemeinsam Schritt für Schritt ausrechnen.

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} z=3i- \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

1. Schritt:

Betrag r ausrechnen

2. Schritt

Den Betrag ausklammern

Mache das beides erst mal.

30.01.2013, 20:34

Patrick1990

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Gern, will es schließlich genau verstehen.

Betrag von z habe ich schon, der wäre 2*sqrt(3).

--> z=r*(cos(varphi)+i*sin(varphi))

Jetzt habe ich wie gesagt arccos(-sqrt(3)/2*sqrt(3)) und gekürzt, somit erhalte ich arccos(-1/2), dann nahm ich meinen Springer zur Hand und habe geschaut wann der arccos den Wert x=-1/2 annimmt und kam auf mein Ergebnis.

30.01.2013, 21:00

lgrizu

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Dein Vorgehen ist vollkommen richtig, ich würde mich nur nicht unbedingt auf den arctan verlassen, da dieser einen eingeschränkten Definitionsbereich hat.

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} z=-\sqrt{3}+3i=2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left( - \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \end{eqnarray*}$

Daraus erhalten wir also:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i= \cos \phi + i \cdot \sin \phi \end{eqnarray*}$

Und damit wiederum durch Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} \cos \phi= -\frac{1}{2}~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}~(**) \end{eqnarray*}$

* liefert uns $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$

(**) liefert uns $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$

Damit ist das gesuchte Argument $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 21:06

Patrick1990

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Wie genau bist du auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ für sin(varphi) gekommen?

30.01.2013, 21:09

lgrizu

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Meinst du hier: ???

Zitat:

Original von lgrizu
Und damit wiederum durch Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} \cos \phi= -\frac{1}{2}~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}~(**) \end{eqnarray*}$

Das geht aus dieser Glecihung hervor und dem Vergleich von Real und Imaginärteil:

Zitat:

Original von lgrizu

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i= \cos \phi + i \cdot \sin \phi \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 21:16

Patrick1990

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Ich meine hier:

$\begin{eqnarray*} z=-\sqrt{3}+3i=2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left( - \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \end{eqnarray*}$

Also die -1/2 habe ich ja durch rechnen von (a/r), woher weiß ich was anstatt Sinus (varphi) einzusetzen ist?

30.01.2013, 21:21

Patrick1990

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Ich weiß es jetzt. Danke.

30.01.2013, 21:25

lgrizu

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Es ist:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3}+3i= \sqrt{12} \cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}+ \frac{3}{\sqrt{12}}i \right) \end{eqnarray*}$

Nun machen wir den Nenner rational und kürzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{12} \cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}+ \frac{3}{\sqrt{12}}i \right)=\sqrt{12} \cdot \left( - \frac{1}{2}+ \frac{3 \cdot \sqrt{12}}{12}i \right)=\sqrt{12} \cdot \left( - \frac{1}{2}+ \frac{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{12}i \right)=\sqrt{12} \cdot \left( - \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3}}{2} i\right) \end{eqnarray*}$

Edit: Ökeydokey, ich lass es dennoch stehen......

30.01.2013, 21:27

Patrick1990

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Nun lautet die Aufgabe wir sollen z^5 der exponentiellen Form bestimmen. Exponentielle Form habe ich vorher angegeben, ist ja nicht schwer. Wie mache ich dies jetzt ohne Taschenrechner?

30.01.2013, 21:33

Patrick1990

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Eine Frage noch

[quote]Original von lgrizu

* liefert uns $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$

(**) liefert uns $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$

In meiner Formelsammlung steht nur jeweils einer der Werte, woher bekomme ich den zweiten?

30.01.2013, 21:44

lgrizu

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Durch geschickte Überlegung am Einheitskreis.

30.01.2013, 21:48

Patrick1990

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Ok mit dem hatte ich bisher leider noch nichts zu tun. Ist sicherlich auch nicht einfach zu erklären oder?

30.01.2013, 21:55

lgrizu

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Das hat man i der Schule bereits, wenn cosinus und Sinus eigeführt werden.

Wir nehmen einmal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hat (unter anderem) die Lösung $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{6} \pi \end{eqnarray*}$

Das markiert die rote Linie in unten stehender Grafik.

Die grüne Linie schließt mit der negativen x-Achse ebenfalls einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \pi \end{eqnarray*}$ ein.

Also schließt sie mit der positiven x-Achse einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \pi \end{eqnarray*}$ ein.

Das sind die beiden Lösungen.

[attach]28172[/attach]

30.01.2013, 22:05

Patrick1990

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Dem kann ich folgen, nur wie ist das jetzt für unsere Werte? Der eine würde einfach nur mit pi addiert und der andere mit 2pi?

30.01.2013, 22:20

lgrizu

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Für unsere Werte:

Der rote schließt einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$ mit der positiven x-Achse ein, der grüne einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$ mit der negativen x-Achse, also schließt der grüne einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ mit der positiven x-Achse ein.

30.01.2013, 22:33

Patrick1990

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Und wie ist das da für den Kosinus? Entschuldige, aber ich habe mit dem Einheitskreis nie gearbeitet.

30.01.2013, 22:37

lgrizu

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Mit dem Kosimus ist das genau so, bei dem Winkel wird der Sinus auf der y-Achse eingetargen und der Kosinus auf der x-Achse, gemessen immer an dem winkel, der mit der positiven x-Achse eingeschlossen wird.

Der Winkel ist also nur eindeutig durch eine Kombination aus Sinus und Kosinus zu identifizieren.

Im 1. Quadranten ist der sinus und der Ksoinus positiv, im 2. Quadranten ist der sinus positiv, der Kosinus negativ, im dritten Quadranten sind beide negativ und im 4. Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv.

Wie gesagt, an der x-Achse wird der Ksoinus des Winkels abgelesen, an der y-Achse der Sinus.

Oder bei komplexen Zahlen: an der reellen Achse wird der Kosinus abgelesen, an der imaginären Achse der Sinus.

30.01.2013, 22:43

Patrick1990

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Ok ich glaube jetzt hab ich's. Kannst du mir weiter mit der Aufgabe helfen?

$\begin{eqnarray*} z^5 \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 22:45

lgrizu

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Mit welcher Aufgabe?

Soll nun $\begin{eqnarray*} z^5 \end{eqnarray*}$ bestimmt werden, also $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{3}+3i)^5 \end{eqnarray*}$ oder was?

30.01.2013, 22:53

Patrick1990

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$\begin{eqnarray*} z^5 \end{eqnarray*}$ aber in der exponentiellen Form

$\begin{eqnarray*} z=(2\sqrt{3})^5(e^{i\frac{2\pi}{3}})^5 \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 22:59

lgrizu

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Das hätte ich dann auch vorgeschlagen.

Hier sind einfach Potenzgesetze zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{n \cdot m} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 23:05

Patrick1990

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Die sind mir bekannt, weiß jedoch nicht wie man aus dem Kopf auf

$\begin{eqnarray*} z^5=288\sqrt3 e^{-\frac{2\pi}{3}i} \end{eqnarray*}$

kommen soll und wieso das Phi jetzt nun so aussieht.

30.01.2013, 23:14

lgrizu

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Okay, dann rechnen wir doch mal ganz naiv aus:

$\begin{eqnarray*} 2^5 \cdot \sqrt{3}^5 \cdot (e^{5 \cdot \frac{2}{3} \pi i}) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} 2^5=32 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^5=\sqrt{3}^4 \cdot \sqrt{3}=9 \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 \cdot 32=320-32=288 \end{eqnarray*}$

Damit haben wir schon mal $\begin{eqnarray*} (2 \cdot \sqrt{3})^5=288 \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Das sollt im Kopf auf jeden Fall machbar sein.

ferner haben wir

$\begin{eqnarray*} e^{5 \cdot \frac{2}{3} \pi i}=e^{\frac{10}{3} \pi i} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ein voller Kreis, wir haben uns also einmal gedreht und nen bissel weiter, die volle Drehung können wir wieder herausnehmen, also ziehen wir $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ vom Argument ab und erhalten:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{10}{3} \pi i}=e^{\frac{4}{3} \pi i} \end{eqnarray*}$

Statt nun $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ in der positiven Richtung zu drehen können wir auch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ in der negativen Richtung drehen, das wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi-2 \pi=-\frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 23:46

Patrick1990

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Danke. Ich habe es nun auf Anhieb verstanden. Ich denke immer zu kompliziert unglücklich

unglücklich

wahrscheinlich fehlt die Übung.

Der letzte Teil der Aufgabenstellung ist auch noch einmal etwas, wovon ich keine Ahnung habe.
Wir sollen alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=8 \end{eqnarray*}$ bestimmen und diese in algebraischer Form angeben.

Klar: algebraische Form $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$

Wie geht man vor?

31.01.2013, 00:23

lgrizu

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Das einfachste ist im allgemeinen über die Exponentialdarstellung zu gehen.

Im Konkreten, also in diesem Fall, ist das jedoch zielich überflüssig, man erkennt sofort die reelle Lösung z=2.

Nun kann man Polynomdivision machen:

$\begin{eqnarray*} (z^3-8) : (z-2) \end{eqnarray*}$

Man erhält ein quadratisches Polynom, Lösen mit pq-Formel.

Edit: Ich gehe jetzt schlafen Wink

Wink

31.01.2013, 09:10

Patrick1990

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Hallo, die Polynomdivisoin ergibt $\begin{eqnarray*} z^2-2z+4 \end{eqnarray*}$ .

Nun kann ich ja nicht die pq Formel anwenden, da der Ausdruck in der Wurzel negativ wird?

31.01.2013, 09:15

lgrizu

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Mit der Vereinbarung $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ ist auch das machbar....

Denke dran, wir sind im komplexen....

Hast du denn verstanden, warum man das so machen kann?

31.01.2013, 09:22

Patrick1990

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Kann ich das also schreiben als $\begin{eqnarray*} \sqrt{3i^2} \end{eqnarray*}$ ?

Stimmt, im Komplexen gibt es auch negative Wurzeln, wie man diese jedoch löst weiß ich nicht.

Warum man das so machen kann weiß ich nicht.

31.01.2013, 09:25

lgrizu

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Jap. kannst du.

Und mit den Rechengestzen erhälst du dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \cdot \sqrt{i^2}=\sqrt{3} \cdot i \end{eqnarray*}$

Wir gehen die Aufgabe gleich noch einmal vollständig durch, Schritt für Schritt mit zwei möglichen Lösungswegen.

31.01.2013, 09:29

Patrick1990

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Kannst du mir eventuell sagen wie sie das hier gemacht haben in unserer Lösung? Wie kommt man auf diese Formeln und wieso steht für K1=-2?

31.01.2013, 09:34

lgrizu

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Jetzt mal nicht alles durcheinander, hast du denn jetzt die drei Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=8 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet?

Danach besprechen wir andere Lösungswege.

Die Musterlösung entspricht auch nicht unserem Weg, den erkläre ich dir gleich, erst mal Ergebnisse.

31.01.2013, 09:41

Patrick1990

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Ergebnisse habe ich natürlich auch herausbekommen.
Einmal durch Überlegung
$\begin{eqnarray*} z_1=2 \end{eqnarray*}$
Dann durch Polynomdivision und PQ-Formel:
$\begin{eqnarray*} z_{2/3}=1\pm \sqrt{3} \cdot i \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 09:47

lgrizu

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Okay, das ist richtig.

Edit: Vorzeichen übersehen, richtig wäre natürlich $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z=-1 \pm \sqrt{3} i \end{eqnarray*}$

Nun fassen wir noch mal unseren Lösungsweg zusammen:

1. Schritt:

$\begin{eqnarray*} z^3=8 \Leftrightarrow z^3-8=0 \end{eqnarray*}$ durch Äquivalenzumformung.

2. Schritt:

Erkennen, dass es eine reelle dritte Wurzel aus 8 gibt, also eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ ist, daraus folgt $\begin{eqnarray*} z-2=0 \end{eqnarray*}$

3. Schritt:

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (z^3-8) : (z-2)=z^2+2z+4 \end{eqnarray*}$

4. Schritt:

Lösen der quadratischen Gleichung mit quadratischer Ergänzung, pq- Formel, Mitternachtsformel etc.

Ist dieser Lösungsweg erst mal klar?

31.01.2013, 09:50

Patrick1990

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Jap, der ist klar.

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