Übergangsmatrix

31.01.2013, 17:02

$NuMiKu$

Übergangsmatrix

Meine Frage:
Hallo an alle! Ich verzweifle an dieser Aufgabe unglücklich

:

Von einem Prozess ist das nebenstehende Zustandsdiagrammm bekannt.
a.) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix.
b.) Bestimmen Sie den Fixvektor.

[attach]28194[/attach]

Meine Ideen:
zu a.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,3 & 0,4 & 0,3 \\ 0.9& 0,1 & 0 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu b.) Was ist genau ein Fixvektor? :/

Edit Equester: Latexklammern gesetzt.

31.01.2013, 17:18

zyko

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RE: Übergangsmatrix
Ich bin nicht sicher, wie ihr die Übergangsmatrix definiert habt, aber ich vermute, dass sie folgendermaßen aussehen muss:
$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} & A & B & C \\A & 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ B& 0.1& 0.9 & 0 \\ C& 0.2 & 0.5 & 0.3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wenn keine Verbindung zwischen B und C existiert, könnte an der Stelle B-C auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stehen.
Für den FixVektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x\\ y \\z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
muss gelten
$\begin{eqnarray*} M \vec{x}=\vec{x} \end{eqnarray*}$ .
Dieses Gleichungssystem ist zu lösen. Hierbei ist von M nur das 3x3 Zahlenfeld und nicht die A-B-C Zeile/Spalte zu nehmen.

31.01.2013, 18:02

Kasen75

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@zyko

Ich denke es ist sinnvoller, den Fixvektor mit folgender Gleichung zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} x^T \cdot M=x^T \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x^T=(x,y,z) \end{eqnarray*}$

Grüße.

31.01.2013, 19:35

$NuMiKu$

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Ich habe das Gleichungssystem gelöst und komme auf

1x=x
1y=y
1z=z

Ist das richtig? Wenn ja, was bringt mir das? Ich brauche doch einen Vektor, oder nicht?

31.01.2013, 20:21

Kasen75

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@$NuMiKu$

Das ist nicht der Fixvektor, den du ausgerechnet hast. Ich hatte es schon erwähnt, dass du folgendes Gleichungssystem lösen musst:

$\begin{eqnarray*} x^T \cdot M=x^T \end{eqnarray*}$

Somit wäre deine erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0,3 \cdot x+0,1 \cdot y +0,2 \cdot z=x \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung würde so beginnen:

$\begin{eqnarray*} 0,4 \cdot x+0,9 \cdot y \ \ \ldots \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 23:03

$NuMiKu$

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Also ich komme auf den Fixvektor (0 0 0) ... Ich weiß nicht ob ich einen Fehler bei der Rechnung gemacht habe:

y= 0.3x+0,3z

0,5z=0,4x+0,9*(0,3x+0,3z)
z=2/21/23x

0,3x+0,1*(0,3x+0,3*(2/21/23x))
48/115x=201/2300x
x=0
z=0
y=0

verwirrt

31.01.2013, 23:33

zyko

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Wenn man von der Matrix M die Einheitsmatrix abzieht erhält man:
$\begin{eqnarray*} <br /> M-E = \\ \begin{pmatrix}%20%20&%20A%20&%20B%20&%20C%20\\A%20&%200.3-1%20&%200.4%20&%200.3%20\\%20B&%200.1&%200.9-1%20&%200%20\\%20C&%200.2%20&%200.5%20&%200.3-1%20\end{pmatrix}= \\<br /> \begin{pmatrix}%20%20&%20A%20&%20B%20&%20C%20\\A%20&%20-.7%20&%200.4%20&%200.3%20\\%20B&%200.1&%200-.1%20&%200%20\\%20C&%200.2%20&%200.5%20&%200-.7%20\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Für diese Matrix suchen wir eine nichttriviale Lösung, so dass
$\begin{eqnarray*} (M-E)\vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ .
Addiert bzw. subtrahiert man geeignetes Vielfaches der Zeile B von den Zeilen A und C, dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & A & B & C \\A & 0 & -0.3 & 0.3 \\ B & 0.1 & -0.1 & 0 \\ C & 0 & 0.7 & -0.7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Hier erkennt man unschwer, dass die Zeilen A und C linear abhängig sind, deswegen existiert eine nichttriviale Lösung z.B. $\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$ .
Nur mit einer Zusatzbedingung, z.B. die Länge des Eigenvektors soll =1 sein, ergeben sich dafür eindeutige Werte $\begin{eqnarray*} x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 00:31

Bjoern1982

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Das ist eine Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch im Kapitel über so genannte Austauschprozesse und den dazu passenden stochastischen Matrizen.
Ein Fixvektor (stabile Verteilung) wird hier mit diesem Ansatz bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,3 & 0,1 & 0,2 \\ 0,4& 0,9 & 0,5 \\ 0,3 & 0 & 0,3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 01:05

zyko

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Du hast in deiner Matrix jetzt die transponierte Matrix der ursprünglichen stehen, dies ändert aber nicht an den Berechnungsmethoden.
Es ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,3 & 0,1 & 0,2 \\ 0,4& 0,9 & 0,5 \\ 0,3 & 0 & 0,3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Bringe jetzt die rechte Seite nach links und bilde die Differenz der beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} M-E \end{eqnarray*}$ . Suche anschließend eine nichttriviale Lösung von
$\begin{eqnarray*} (M-E)\vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 09:30

Che Netzer

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RE: Übergangsmatrix

Zitat:

Original von zyko
Wenn keine Verbindung zwischen B und C existiert, könnte an der Stelle B-C auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stehen.

Das hieße dann, dass die Wahrscheinlichkeit, von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zu Zustand $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zu kommen, unendlich hoch wäre verwirrt

01.02.2013, 09:40

zyko

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RE: Übergangsmatrix
Es war von einer Übergangsmatrix die Rede.
Damit ist nicht klar, ob die Matrix eine Kosten- oder eine Nutzen-Funktion ist.
Stellen die Übergangszahlen die Kosten dar, die anfallen beim Übergang von einem Knoten zum anderen oder den Gewinn, wenn man diesen Weg wählt?
Dass diese Zahlen normiert sind (0<=Z<=1) bedeutet nicht automatisch, dass es sich um Wahrscheinlichkeiten handelt.
Wenn du diese Zahlen allerdings als Wahrscheinlichkeiten interpretierst, dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ Unsinn und 0 ist richtig.

01.02.2013, 10:24

Bjoern1982

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Auch deswegen der Verweis auf eine Schulbuchaufgabe.
Da ist nichts mit transponieren, M-E benutzen, linear abhängig etc.
Die Schüler machen bei solchen Aufgaben immer eine "Von-Nach-Tabelle", an der sie dann problemlos die entsprechende Übergangsmatrix ablesen können (wobei sie dann auch stets darauf achten im Hinblick auf einen Austauschprozess als Probe für sich zu prüfen, ob die Einträge in der jeweiligen Spalte aufaddiert auch brav immer 1 ergeben).
Für eine stabile Verteilung (Fixvektor) wird dann das oben genannte LGS in Gleichungen umgeschrieben (wie vom Fragesteller auch schon angedeutet) und nachher mit Gauß entweder nur allgemein oder mit einer entsprechenden einfachen Zusatzbedingung je nach Kontext (wie z.B. A+B+C=1) eindeutig gelöst.

01.02.2013, 14:51

Kasen75

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@$NuMiKu$

Du schreibst:

Zitat:

Also ich komme auf den Fixvektor (0 0 0) ... Ich weiß nicht ob ich einen Fehler bei der Rechnung gemacht habe:

Der Fixvektor (0 0 0) ist eine Lösung von vielen.

Da die drei Gleichungen linear abhängig sind, kann man eine Gleichung für die Ermittlung der Lösung unberücksichtigt lassen.

Somit hast du zwei Gleichungen mit den Variablen x,y,z. Die Lösung, wenn man sie auf x normiert, könnte beispielhaft dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (x \ y \ z)=(x \ \frac{40}{6}x \ \frac{8}{6}x ) \end{eqnarray*}$

Nur zur Klarstellung: Das ist nicht der Lösungsvektor deiner Aufgabe.

So wie es aussieht, hast du in der Tat einen Fehler gemacht. Wenn du die ganze Rechnung hinschreibst, dann kann man auch konkreter sagen, wo du den Fehler gemacht hast.

Grüße.

01.02.2013, 20:38

$NuMiKu$

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@ Kasen75

Einen Fehler habe ich leider noch nicht gefunden ... deshalb ist hier meine ganze Rechnung:

0,3x+0,1y+0,2z=x
0,4x+0,9y+0,5z=y
0,3x+0y+0,3z=z

z=0,3x+0,3z
z=2/1/3x

x= 0,3x+0,1y+0,2*(2/1/3x)
x=0,3x+0,1y+7/15x
7/30x=0,1y
x=3/7y

0,4*(3/7y)+0,9y+0,5*(2/1/3x)=y
6/35y+0,9y+1/1/6x=y
1/1/6x=-1/14y
y=-16/1/3x

hmm ... Jetzt verstehe ich gar nichts mehr verwirrt

01.02.2013, 20:55

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

z=0,3x+0,3z
z=2/1/3x

Die erste Gleichung ist richtig. Dann hast du falsch umgestellt soweit ich das sehe.
Ziehe ersmal auf beiden Seiten 0,3z ab und löse dann nach z auf.

02.02.2013, 14:13

$NuMiKu$

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Aber was ist denn falsch daran? verwirrt

Ich habe nur

z=0,3x+0,3z
1z-0,3z=0,3x
0,7z=0,3x
z=0,7/0,3x
z=2/1/3x

gerechnet. verwirrt

02.02.2013, 14:50

Kasen75

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Zitat:

0,7z=0,3x
z=0,7/0,3x
z=2/1/3x

Ausgehend von der ersten Zeile: Wenn du z haben willst, dann musst du die Gleichung durch 0,7 teilen.

$\begin{eqnarray*} 0,7z=0,3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{0,3}{0,7}x \Rightarrow z=\frac{3}{7}x \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis kannst du jetzt z.B. in die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} 0,3x+0,1y+0,2z=x \end{eqnarray*}$ einsetzen. Somit wäre in der Gleichung keine z-Variable mehr vorhanden. Dann kannst du ausrechnen, wieviel x ein y ist. Und du hättest im Prinzip schon deinen Fixvektor. smile

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