Begründung Unterraum

31.01.2013, 20:12

Patrick1990

Begründung Unterraum

Hallo, ich habe folgende Aufgabe.

Wie gehe ich die an?

Die Ebene geht durch den Koordinatenursprung 0, welches die 0 besagt oder?

31.01.2013, 20:50

Patrick1990

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Habe mir folgendes überlegt:

Ortsvektor ist der Vektor vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Ebene.

Ich habe nun einen beliebigen Punkt der Ebene verwendet, erhalte somit den Ortsvektor (ich nenne ihn O)

$\begin{eqnarray*} \vec{O}_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Danach muss ich überprüfen, ob die Menge nicht leer ist, ich habe gelesen, dass man dafür einfach den Nullvektor einsetzt und wenn 0=0 rauskommt, ist die Menge nicht leer. Stimmt das soweit?

Weiterhin muss ich nun prüfen, ob die Addition und säkulare Multiplikation nicht aus der Ebene führen.

Zunächst erst einmal zur Addition:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Auch dieser Vektor liegt noch in der Ebene.

Wie ich jetzt sauber argumentieren kann bei der skalaren Multiplikation weiß ich nicht.

Ich habe mir gedacht:

$\begin{eqnarray*} \lambda x + \lambda y + \lambda z = 0 = \lambda(x+y+z) \end{eqnarray*}$

Und habe für lambda verschiedene Werte eingesetzt und wieder überprüft, ob der Punkt noch Element der Ebene ist.

31.01.2013, 21:58

lgrizu

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Dein Ortsvektor erübrigt sich, wenn der Nullvektor in der Ebene liegt.

Also zu prüfen sind die drei Unterraumaxiome:

$\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u,v \in U \Rightarrow x+y \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R,~ u \in U \Rightarrow \lambda u \in U \end{eqnarray*}$

Das erste ist klar, einfach mal den 0-Vektor einsetzen, Gleichung haut hin, fertig.

Das zeite Axiom ist ebenso einfach nachzuprüfen, einfach mal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und acuh beim dritten Axiom kann man einfach mal $\begin{eqnarray*} \lambda \vec{u}=\lambda \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\ \lambda y_1\\ \lambda z_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen

Einfach beliebige Werte einsetzen von Vektoren, die in der Ebene liegen haut nicht hin, das kann für diese Vektroren stimmen, aber nicht für beliebige Vektoren, immerhin gibt es davon unendlich viele und alle nachzuprüfen ist schier unmöglich.

Also nichts konkretes einsetzen, immer beliebig bleiben Augenzwinkern

31.01.2013, 22:15

Patrick1990

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Soll ich da für x1 y1 z1 x2 y2 z2 immer Null einsetzen und diese Addieren? Und das auch beim dritten Axiom? Sozusagen 0= lambda*0?

Oder verstehe ich das grad falsch?? Wie sieht man denn in solch allgemeinen Fällen, dass U kein Unterraum ist?

31.01.2013, 22:21

lgrizu

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Nein, nicht 0 einsetzen, gar nichts einsetzen.

Ohje, habt ihr sowas denn in Vorlesung oder Übungsstunden niemals besprochen?

Nen bissel was wird doch hängen geblieben sein....

Also, wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{u}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ , dass u also die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x_1-y_1-z_1=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, das slebe für $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ , also v erfüllt ebenfalls die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x_2-y_2-z_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun schauen wir und $\begin{eqnarray*} u+v=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an und setzen das in unsere Gleichung ein, was erhalten wir?

31.01.2013, 22:29

Patrick1990

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Wir erhalten

$\begin{eqnarray*} 3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=3x_1+3x_2-y_1-y_2-z_1-z_2=0 \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 23:18

lgrizu

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Und, warum stimmt die Gleichung, sprich, warum ist die linke Seite wirklich gleich 0?

31.01.2013, 23:21

Patrick1990

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Das weiß ich nicht.

31.01.2013, 23:23

Patrick1990

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Vielleicht aus der Bedingung, dass die Vektoren eben Element der Menge(Ebene) sind und eingesetzt in die Ebenengleichung Null ergeben?

31.01.2013, 23:23

lgrizu

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Dann sortieren wir einmal um:

$\begin{eqnarray*} 3x_1+3x_2-y_1-y_2-z_1-z_2=(3x_1-y_1-z_1)+(3x_2-y_2-z_2) \end{eqnarray*}$

Was fällt denn auf?

Edit:

Zitat:

Original von Patrick1990
Vielleicht aus der Bedingung, dass die Vektoren eben Element der Menge(Ebene) sind und eingesetzt in die Ebenengleichung Null ergeben?

$\begin{eqnarray*} 3x_1+3x_2-y_1-y_2-z_1-z_2=\underbrace{(3x_1-y_1-z_1)}_{=0}+\underbrace{(3x_2-y_2-z_2)}_{=0} \end{eqnarray*}$

Genau, das gilt ja gerade, weil u und v aus U sind.....

31.01.2013, 23:26

Patrick1990

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0+0=0

Ich frage mich nur, wie es aussieht wenn U kein Unterraum ist?

31.01.2013, 23:30

lgrizu

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Das kann man mal behndeln, wenn man wirklich auf einen Widerspruch stößt.

Also, drittes Axiom ist nun ziemlich analog, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einfach ausklammern.

Dann haben wir die Frage nach der Basis, dazu eine Idee?

Ich mache für heute erst mal Feierabend.....

31.01.2013, 23:38

Patrick1990

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Also kann ich das einfach bei jeder Aufgabe, wo der Nachweis des Unterraums gefragt ist so schreiben, ohne konkrete Zahlenwerte zu nehmen?

Zu der Basis habe ich bisher nur folgende Überlegungen:
Basisvektoren sind linear Unabhängig. Basisvektoren spannen die Ebene auf.

Leider nicht sehr viel.

01.02.2013, 00:32

lgrizu

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Zitat:

Original von Patrick1990
Also kann ich das einfach bei jeder Aufgabe, wo der Nachweis des Unterraums gefragt ist so schreiben, ohne konkrete Zahlenwerte zu nehmen?

Du kannst nicht nur, du musst sogar. Wie gesagt, wenn du konkrete Zahlenwertze nimmst betrachtest du das lediglich für genau diese Zahlenwerte, nicht aber für alle anderen.

Zitat:

Original von Patrick1990
Zu der Basis habe ich bisher nur folgende Überlegungen:
Basisvektoren sind linear Unabhängig. Basisvektoren spannen die Ebene auf.

Leider nicht sehr viel.

Das stimmt, viel ist das nicht......

Wie schauen denn die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x-y-z=0 \end{eqnarray*}$ aus bzw. wie bestimmt man sie. Analog dazu wäre, eine Parameterdarstellung der Ebene zu finden.

01.02.2013, 09:21

Patrick1990

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Liege ich da richtig, dass die Parameterdarstellung der Ebene so aussieht:

$\begin{eqnarray*} E=\left(\begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right) = s \left(\begin{matrix}\frac{1}{3} \\1 \\0 \end{matrix} \right)\ + t \left(\begin{matrix}\frac{1}{3} \\0 \\1 \end{matrix} \right)\ \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 09:31

lgrizu

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Das ist eine Parameterdarstellung, die (eineutige) Parametredarstellung existiert nicht, es gibt unendlich viele.

Aber ansonsten korrekt, ich würde jedoch, soweit es möglich ist Brüche in den Einträgen der Vektoren vermeiden.

Aber ansonsten richtig.

Nun Basis und Dimension bestimmen, das ist einfaches ablesen.

01.02.2013, 10:04

Patrick1990

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Also wie lese ich dies nun ab? Dimension haben wir immer über die Gleichungen am Ende des Gaußschen Algorithmus abgelesen. Wäre die Dimension hier 1, da es nur eine Gleichung gibt?

Und wie lese ich die Basis ab?

01.02.2013, 10:42

lgrizu

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Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem, welche Vektoren erzeugen denn hier dein U?

Du hast wirklich fundamentale Lücken bei den einfachsten Dingen, das solltest du insgesamt aufholen.....

01.02.2013, 10:50

Patrick1990

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Die Vektoren der Parameterform der Ebenengleichung nehme ich an. Also ist das eine Basis von U.

Wie sieht das mit der Dimension dann aus?

Ja, ich weiß. Ich versuche zur Zeit auch alles im Selbststudium und anhand der guten Erklärungen hier im Forum nicht nur zu lernen, sondern auch zu verstehen. Leider wurde uns das in der Uni nie so richtig auf verständliche Weise erklärt und ich versuche es nun nachzuarbeiten. Tut mir leid.

01.02.2013, 11:04

lgrizu

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Also welche Vektoren bilden eine Basis?

Wie ist die Dimension definiert?

01.02.2013, 11:26

Patrick1990

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Eine Basis bilden die Spannvektoren der Parametergleichung.

Die Dimension bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade, also hat diese Ebene die Dimension 2.

Ich hoffe ich habe es nun richtig.

01.02.2013, 11:33

lgrizu

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Jap, ist richtig.

Wir haben also eine Basis durch $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Die Anzahl der Basiselemente ist die Dimension, also hier $\begin{eqnarray*} dim (U)=2 \end{eqnarray*}$ .

So, fehlt noch das orthogonale Komplement, wieder die Frage, wie ist es definiert?

01.02.2013, 11:40

Patrick1990

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Ich nehme den Vektor v (erster Basisvektor) und dieser muss zusammen mit einem anderen Vektor u (orthogonales Komplement) im Skalarprodukt Null ergeben.

01.02.2013, 11:44

lgrizu

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Wieso denn nur der erste Basisvektor? verwirrt

Und die Defintion des orthogonalen Komplements ist:

Sei $\begin{eqnarray*} U \subset V \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum, dann ist die Menge

$\begin{eqnarray*} U^{\perp}=\left\{v \in \mathbb V: <u,v>=0 \forall u \in U\right\} \end{eqnarray*}$

Also der gesuchte orthogonalraum muss auf allen Vektoren aus U senkrecht stehen, nicht nur auf einem.

01.02.2013, 12:29

Patrick1990

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Dann habe ich wohl die Definition falsch verstanden.

01.02.2013, 12:32

lgrizu

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Aber da steht es doch: Für alle u aus U und nicht für ein beliebiges u aus U......

Also, es ist ein Unterraum des IR³ gesucht, der senkrecht auf U steht, also auf dem gesamten Unterraum.

01.02.2013, 12:32

Patrick1990

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Okay. Und dies zeigt man mit dem Skalarprodukt, welches 0 ergeben muss. Nur was setze ich in das Skalarprodukt ein?

01.02.2013, 12:34

lgrizu

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Wie wäre es mit deinem Raum $\begin{eqnarray*} U=s \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

01.02.2013, 12:35

Patrick1990

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Ja, kann ich nachvollziehen. Habe mich durch ein Lehrvideo irritieren lassen.

01.02.2013, 12:35

lgrizu

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Na dann mal los.....

01.02.2013, 12:38

Patrick1990

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Einfach die beiden Spannvektoren einsetzen kann ja nicht funktionieren.
Wohl eher

<s*(Spannvektor1),t*(Spannvektor2)>=0

Oder?

Ich erhalte nun Lösungen für s und t.

01.02.2013, 12:46

lgrizu

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die beiden Spannvektoren müssen auch gar nicht senkrecht aufeinander stehen, sondern sie müssen (beide) senkrecht auf einem anderen Unterraum stehen........

01.02.2013, 12:55

Patrick1990

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Ich weiß nicht wie ich es angehen soll.

Diemeinfach Seite einfach $\begin{eqnarray*} \vec{u}_1=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und die andere Seite je ein Basisvektor? Somit komme ich auf 2 Vektoren u1 und u2?

Tut mir Leid

01.02.2013, 13:08

lgrizu

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Ich verstehe nicht, was du mir sagen möchtest, deshlb mache ich das jetzt einfach mal vor.

Wir suchen eine Menge von Vektoren, die senkrecht auf dem Unterraum U steht.

Eine Basis von U haben wir gegeben, der gesuchte Unterraum steht also senkrecht auf jedem dieser Basisvektoren.

Wir sagen einmal, dass der Unterraum gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dabei kann jeder einzelne Eintrag auch Skalare enthalten, immerhin ist unser Unterraum U ja auch darstellbar als $\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s+t\\3t\\3s\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist also entweder die Gleichung $\begin{eqnarray*} \left< \begin{pmatrix} s+t\\3t\\3s\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right>=0 \end{eqnarray*}$ auszurechnen,

oder die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \left< \begin{pmatrix} 1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right>=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left< \begin{pmatrix} 1\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right>=0 \end{eqnarray*}$

oder man bildet einfach das Kreuzprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\3\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\0\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wenn man denn bereits sieht, dass das Orthogonale Komplemet die Dimesnion 1 haben muss, und dass er die Dimension 1 haben muss folgt sofort aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} U \oplus U^{\perp}=V \end{eqnarray*}$ , wobei in unserem Fall $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist.

01.02.2013, 17:04

Patrick1990

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So ich habe nun alles verinnerlicht und auch mal gerechnet.

Für das Kreuzprodukt habe ich ja dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\3\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\0\\3\end{pmatrix}=t*\begin{pmatrix} 9\\-3\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es richtig dass ich das t davor schreibe?

01.02.2013, 17:08

lgrizu

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Bei dem Kreuzprodukt erst mal nicht, bei dem Vektorraum dann schon.

Ich habe das jetzt mal nicht nachgerechnet, aber einsetzen in das Kreuzprodukt wird ja wohl klappen Augenzwinkern

Die Schreibweise wäre also - vorausgesetzt, du hast richtig gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\3\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\-3\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der gesuchte Unterraum ist dann $\begin{eqnarray*} span \left< \begin{pmatrix} 9\\-3\\-3\end{pmatrix} \right> \end{eqnarray*}$ oder in Parameterdarstellung:

$\begin{eqnarray*} U : \vec{x}=t \cdot \begin{pmatrix} 9\\-3\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

01.02.2013, 17:16

Patrick1990

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Okay vielen Dank.

Habe hier noch ein weiteres Problem.

Wir haben ja nun besprochen, wie man zeigt, ob es ein Unterraum ist. Jedoch gibt es bei dieser Aufgabe keine Werte, wie soll ich das also Überprüfen?

01.02.2013, 17:19

lgrizu

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Indem du zeigst, dass die Null matrix schiefsymmetrisch ist, dass die Summe zweier schiefsymmetrischer Matrizen wieder schiefsymmetrisch ist und dass Multiplikation mit einem Skalar nichts daran ändert, dass die Matrix schiefsymmetrisch ist.

01.02.2013, 17:54

Patrick1990

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Also kann ich nun einfach schreiben:

1. Die Menge ist nicht leer, da $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ für die Nullmatrix

Weiterhin kann ich sagen für die Nullmatrix gilt $\begin{eqnarray*} A^T=-A \end{eqnarray*}$ .

2. Die Addition

Es seien $\begin{eqnarray*} A,B \in U \end{eqnarray*}$ dann:

$\begin{eqnarray*} (A+B)^T=A^T+B^T=(-A)+(-B)=-(A+B) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} A+B \in U \end{eqnarray*}$

3. Die skalare Multiplikation

Es sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in U \end{eqnarray*}$ , dann:

$\begin{eqnarray*} (\lambda A)^T=\lambda (A)^T = \lambda (-A) = -(\lambda A) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} \lambda A \in U \end{eqnarray*}$

Ist das so ok?

01.02.2013, 18:01

Patrick1990

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Wie komme ich an die Dimension? Ich habe mir überlegt eine schiefsymmetrische Matrix aufzustellen und das dann auch in die Parameterform zu überführen, aber ich denke, dass das nicht klappen wird.

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