Matrix mit Unbekannter

01.02.2013, 22:02

89434665

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Matrix mit Unbekannter

Hi,

brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Für welche $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat das lineare Gleichungssystem Ax=b keine, genau eine bzw. mehrere Lösungen ? Geben Sie jeweils sämtliche Lösungen an:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & (p-1) & p \\ 2 & (3-p) & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2p-1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Idee:

Keine Lösung _ Rang Koeffizientenmatrix ungleich Rang erweiterter Koeffizientenmatrix

Eine= Koeffizientenmatrix gleicher Rang wie erweiterte Koeffizientenmatrix

Mehrere = Nullzeile

Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & (p-1) & p & (2p-1) \\ 0 & 0 & (p+1) &(2p+2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muss man jetzt machen ?

01.02.2013, 22:15

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RE: Matrix mit Unbekannter
Fallunterscheidung bzgl p

01.02.2013, 22:31

89434665

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Meine Fallunterscheidung bzgl p :

Fall1:
p=-1

Fall2:
p<-1

Fall3:
p>-1

Stimmt das so ?

01.02.2013, 22:42

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gut angefangen.
Warum gerade p=-1?
gut geraten?
Fall 2 und 3 sind irrelevant

01.02.2013, 23:23

89434665

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Warum gerade p=-1?

Weil es bei p=-1 mehrere Lösungen gibt (Nullzeile).

02.02.2013, 00:20

89434665

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Wenn Fall 2 und 3 sind irrelevant sind und nur Fall 1 stimmt.

Weiß ich nicht wie ich eine Fallunterscheidung machen soll unglücklich

unglücklich

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02.02.2013, 10:51

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Zitat:

Original von 89434665
Warum gerade p=-1?

Weil es bei p=-1 mehrere Lösungen gibt (Nullzeile).

Das klingt schon vernünftig, damit fangen wir an.
Die letzte Zeile deiner umgeformten Matrix entspricht der Gleichung $\begin{eqnarray*} (p+1)x_3=2p+2 \end{eqnarray*}$
Was ergibt sich daraus für $\begin{eqnarray*} p=-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p\neq -1 \end{eqnarray*}$ ?

Als nächstes schreibst du die Gleichung auf, die der zweiten Zeile deiner umgeformten Matrix entspricht und löst nach x_2 auf. Dabei lässt du x_3 zunächst mal stehen.

02.02.2013, 14:56

89434665

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Für p=-1:

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(-1+1)=2*(-1)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------

Für $\begin{eqnarray*} p\neq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{2p+2}{p+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3\neq 0 \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------

Zweite Zeile x2:

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)+x_3*p=(2p-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)=2p-1-p*x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{2p-1-p*x_3}{p-1} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------
Für p=-1

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-3+x_3}{-2} \end{eqnarray*}$

02.02.2013, 15:22

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Zitat:

Original von 89434665
Für p=-1:

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(-1+1)=2*(-1)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

Warum folgerst du daraus, dass x_3=0 ist?

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} p\neq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{2p+2}{p+1} \end{eqnarray*}$

Das kann man noch wunderbar kürzen.

Zitat:

Zweite Zeile x2:

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)+x_3*p=(2p-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)=2p-1-p*x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{2p-1-p*x_3}{p-1} \end{eqnarray*}$

Darf man denn immer bedenkenlos durch p-1 dividieren?

02.02.2013, 15:33

89434665

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Für p=-1:

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(-1+1)=2*(-1)+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} p\neq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3*(p+1)=2p+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{2p+2}{p+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{2*(p+1)}{(p+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zweite Zeile x2:

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)+x_3*p=(2p-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2*(p-1)=2p-1-p*x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{2p-1-p*x_3}{p-1} \end{eqnarray*}$

Darf man denn immer bedenkenlos durch p-1 dividieren?

Warum darf man das nicht ?

02.02.2013, 15:54

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x_3 ist jetzt ok

Zitat:

Original von 89434665

Zitat:

Darf man denn immer bedenkenlos durch p-1 dividieren?

Warum darf man das nicht ?

Was ist mit p=1?

02.02.2013, 16:44

89434665

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bei p=1 ist x_2 unzulässig.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung

02.02.2013, 17:10

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Zitat:

Original von 89434665
bei p=1 ist x_2 unzulässig.

Was soll das bedeuten?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung

Alkohol ist auch keine Lösung.
Auch hier die Frage: Was soll das bedeuten?

Ich vermute, du hast einen Widerspruch gefunden. Das wäre schon ein gutes Zeichen. Aber das musst du dann auch vernünftig aufschreiben.

02.02.2013, 17:30

89434665

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Hab mal in der Musterlösung geschaut dort steht:

Keine Lösung für p=1

02.02.2013, 17:47

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Das ist auch richtig. Du musst es nur mal ordentlich hinschreiben (was ja jetzt schon passiert ist) und begründen, warum es für p=1 keine Lösung gibt.
Das hier

Zitat:

bei p=1 ist x_2 unzulässig.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung

ist jedenfalls schlichtweg Unsinn.

Damit hast du jetzt neben $\begin{eqnarray*} p=-1, p\neq -1 \end{eqnarray*}$ übrigens einen neuen Fall in deiner Fallunterscheidung.
Was wird wohl der nächste Fall sein?

02.02.2013, 18:17

89434665

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$\begin{eqnarray*} p\neq 1 \end{eqnarray*}$

02.02.2013, 18:20

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Ja, das ist der nächste Fall.
Und wie ist die Begründung, dass es für p=1 keine Lösung gibt?

02.02.2013, 18:43

89434665

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$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{2p-1-p*x_3}{p-1} \end{eqnarray*}$

Weil man nicht durch 0 teilen darf.

02.02.2013, 20:15

89434665

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stimmt das ?

02.02.2013, 20:38

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Weil man nicht durch 0 teilen darf? Soll das die Begründung sein, dass das LGS keine Lösung hat? unglücklich

unglücklich

Diese Gleichung für x_2 hattest du vorhin schon. Sie hat ausschließlich für $\begin{eqnarray*} p\neq 1 \end{eqnarray*}$ Sinn, weil man nicht durch Null teilen darf. Das sagt aber noch überhaupt nichts über die Lösbarkeit deines LGS aus.

Schreib dir nochmal die Gleichung auf, die der zweiten Zeile deiner umgeformten Matrix entspricht. Und statt bedenkenlos zu dividieren, setzt du p=1 ein. Und denkst dann daran, was du schon über x_3 weißt. Und dann siehst du hoffentlich, warum es keine Lösung gibt, statt das einfach nur aus der Musterlösung abzuschreiben böse

böse

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