Dichtefunktion -> Verteilungsfunktion

01.02.2013, 22:12

cm3107

Dichtefunktion -> Verteilungsfunktion

Hey
habe folgende Dichtefunktion:
f(x) = { a , 0 =< x < 3
0,25 , 3 =< x < 5
0 , sonst
}
Soll jetzt zuerst das a ausrechnen. Das krieg ich noch hin und es kommt 1/6 raus.

Als nächstes soll ich die Verteilungsfunktions ausrechnen. Hier bleib ich leider hängen.

Als erstes muss ich 1/6 integrieren, was (1/6)x ergibt. Jetzt komm ich nicht weiter. Komme immer auf ein anderes Ergebnis als auf meiner Musterlösung.
Ich muss $\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ integrieren oder täusch ich mich da?

02.02.2013, 00:21

Math1986

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RE: Dichtefunktion -> Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von cm3107
Hey
habe folgende Dichtefunktion:
f(x) = { a , 0 =< x < 3
0,25 , 3 =< x < 5
0 , sonst
}
Soll jetzt zuerst das a ausrechnen. Das krieg ich noch hin und es kommt 1/6 raus.

Als nächstes soll ich die Verteilungsfunktions ausrechnen. Hier bleib ich leider hängen.

Als erstes muss ich 1/6 integrieren, was (1/6)x ergibt. Jetzt komm ich nicht weiter. Komme immer auf ein anderes Ergebnis als auf meiner Musterlösung.
Ich muss $\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ integrieren oder täusch ich mich da?

Dein a) ist korrekt.

Bei der Verteilungsfunktion sollst du zuerst die Fälle $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>5 \end{eqnarray*}$ betrachten und dann das integral berechnen. Beachte dass du eine stückweise definierte Funktion hast.

02.02.2013, 13:41

cm3107

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Für x<0 kommt 0 raus und für x >= 5 kommt 1 raus.
Aber auf den Bereich 3 =< x =< 5 komm ich leider immernoch nicht.

02.02.2013, 14:20

Math1986

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Zitat:

Original von cm3107
Für x<0 kommt 0 raus und für x >= 5 kommt 1 raus.
Aber auf den Bereich 3 =< x =< 5 komm ich leider immernoch nicht.

Wo liegt das Problem? Du weißt schon, dass ein Integral linear ist, oder?

$\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! f(x) \, dx=\int_0^3 \! \frac 16 \, dx+\int_3^5 \! 0,25 \, dx \end{eqnarray*}$

So, nun betrachtest du die Fälle 0 =< x =< 3 und 3 =< x =< 5 separat und berechnest so das Integral.

02.02.2013, 15:06

cm3107

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Das Problem ist, dass ich zu blöd bin es richtig zu integrieren.
$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! f(\frac{1}{6} ) \, dx \end{eqnarray*}$ wird laut meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Und aus dem zweiten Integral $\begin{eqnarray*} \int_3^5 \! f(0.25) \, dx \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ was $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt und das stimmt mit meiner Musterlösung nicht überein.
Da kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left(x - 3\right) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{4} \end{eqnarray*}$ raus.

02.02.2013, 15:47

Math1986

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Was genau ist daran so schwer?
Betrachte erstmal den Fall $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$

Du hast dann eben x als obere Integrationsgrenze.

In dem Fall bildet sich das Integral als
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^xf(x)\,dx=\int_0^x \frac 16\,dx \end{eqnarray*}$
Das ist ein Integral über eine konstante Funktion.

Du musst das x als obere Integrationsgrenze natürlich mitführen.

PS: Musterlösung stimmt nicht.

02.02.2013, 15:53

cm3107

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Habs jetzt hinbekommen smile

DAnke für die Tipps.

02.02.2013, 17:47

cm3107

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Stimmt das dann was ich ausgerechnet habe?
F(x) => {0 , x <0
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ *x , 0 =< x < 3
- $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} + \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$ *x , 3 =< x < 5
1 , x>=5
}

EDIT: Das kann nicht stimmen.

02.02.2013, 19:00

cm3107

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Jetzt hab ichs aber denk ich.
- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*x \end{eqnarray*}$
, 3 =< x < 5

02.02.2013, 19:45

Math1986

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Bemühe dich doch, die Sachen auch sauber hinzuschreiben!

Das erste Integral ist richtig:
Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^xf(x)\,dx=\int_0^x \frac 16\,dx=\frac 16\cdot x \end{eqnarray*}$

Das zweite stimmt nicht, rechne nach

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