Abstand Fläche zu Ebene

01.02.2013, 22:17

niksc

Abstand Fläche zu Ebene

Guten Abend liebe Community,

ich habe eine Frage bzgl. der analytischen Vektorrechnung.

Da es mir um das Verständnis geht, möchte ich nur allgemein wissen, wie man den geringsten Punkt einer gegebenen Fläche zu einer gegebenen Ebene in z.B. Koordinatenform herausfinden kann.

Ich habe mir dazu die Lagrange Methode angesehen, kam da aber nicht wirklich voran. Dann habe ich an eine Tangentialebene gedacht, die an der Fläche liegt. Von dieser Tangentialebene kann man doch dann den Abstand leichter berechnen.

Aber es kann auch etwas ganz anderes sein.
Habt ihr einen Tipp für mich?

Danke und Gruß

02.02.2013, 18:11

Dopap

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RE: Abstand Fläche zu Ebene

Zitat:

Original von niksc

Da es mir um das Verständnis geht, möchte ich nur allgemein wissen, wie man den geringsten Punkt einer gegebenen Fläche zu einer gegebenen Ebene in z.B. Koordinatenform herausfinden kann.

ich würde den Normalenvektor in einem Flächenpunkt so bestimmen, dass er mit dem Normalenvektor der Ebene linear abhängig ist.

Und je nach dem wie deine Fläche definiert ist :

http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor

02.02.2013, 19:05

niksc

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Ok, danke.

Wenn ich also eine Fläche folgendermaßen gegeben habe

$\begin{eqnarray*} c = f(a,b) = a + b \end{eqnarray*}$

müsste ich doch auch

$\begin{eqnarray*} f(a,b,c) = a + b - c \end{eqnarray*}$

schreiben dürfen und kann dann den Normalenvektor bestimmen, der der Gradient dieser Funktion ist, oder?

Wie bekomme ich diesen dann auf die Ebene ausgerichtet?

02.02.2013, 19:15

Dopap

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Zitat:

Original von niksc

$\begin{eqnarray*} c = f(a,b) = a + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x+y \Rightarrow x-y+z = 0 \end{eqnarray*}$

ist keine wirkliche Fläche, sondern eine Ebene. Und die schneidet normalerweise die vorgegebene Ebene. Wenn sie parallel ist, dann ist das keine analytische Aufgabe. --> Vektorrechnung.

02.02.2013, 19:43

niksc

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Das war auch nur ein Beispiel, aber vlt. hätte ich konkreter werden sollen, damit wirklich eine Fläche rauskommt.

Wie z.B. mit z=f(x,y)=x+3y²-2.

Zu dieser Fläche suche ich also einen Normalenvektor, der linear abhängig zu dem Normalenvektor einer gegeben Ebene sein muss, damit ich den geringsten Abstand zw. Fläche und Ebene bestimmen kann, ist das korrekt?

Ist das der Normalenvektor einfach der Gradient, also

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder muss die Gleichung doch mit -z erweitert werden?

02.02.2013, 19:57

Dopap

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nein, der normalenvektor ist:

$\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix}- \frac {\partial f}{\partial x} \\\\ - \frac {\partial f}{\partial y} \\\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 11:54

niksc

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Ja, das sehe ich ja auch ein.
Aber ist der Normalenvektor einer Fläche nicht die Flächennormale?

Ich habe dafür folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1 + 36y^{2}+1}} * \begin{pmatrix} -1 \\ -6y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich aber nun den Abstand von der Fläche mit Hilfe der Flächennormalen zu einer Ebene wenn z.B. der Punkt (1,1,1) gegeben ist?

$\begin{eqnarray*} E: 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

Gruß und danke für die Hilfe

03.02.2013, 12:10

Dopap

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Zitat:

Original von niksc
Ja, das sehe ich ja auch ein.
Aber ist der Normalenvektor einer Fläche nicht die Flächennormale?

der Normalenvektor eine Fläche ist der Normalenvektor der Tangentialebene.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{1 + 36y^{2}+1}} * \begin{pmatrix} -1 \\ -6y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: 2x - y + 3z = 4 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \vec n_F= \begin{pmatrix} -1 \\ -6y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Flächennormalenvektor , und $\begin{eqnarray*} \vec n_E= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ebenennormalenvektor

und wie gesagt sollen die lin. abh. sein, z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -6y \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \mu =\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man y und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ so wählen, dass es stimmt?

03.02.2013, 12:26

niksc

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Die beiden Vektoren sind nicht von einander abhängig, es ist ja egal, was ich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetze, weil die erste und dritte Gleichung einen Widerspruch ergeben.

Kann ich nicht direkt daraus schließen, dass sie sich schneiden und der Abstand 0 ist?

03.02.2013, 12:36

Dopap

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du hast das Beispiel gewählt!

Ich sehe nur eine Folgerung: es gibt keinen Abstand im klassischen Sinne.

Ob die sich schneiden oder nicht, ist mir eigentlich egal, und wenn, dann darf man nicht vom Abstand Null reden.

Hast du kein Beispiel wo es funktioniert ?

03.02.2013, 12:49

niksc

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Nein, ich habe keine explizite Aufgabe, es geht mir auch nur um das Verständnis.

Wenn ich also einen Flächenpunkt wähle mit $\begin{eqnarray*} P(1,1,1,] \end{eqnarray*}$ erhalte ich für

$\begin{eqnarray*} \vec{n_{F} } = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für

$\begin{eqnarray*} \vec{n_{E} } = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Um die lineare Abhängigkeit zu prüfen rechne ich mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} = k*\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und erhalte folgende Gleichungen

$\begin{eqnarray*} I: -1 = 2*k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: -6 = -k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: 1 = 3*k \end{eqnarray*}$

woraus ich folgere, dass die Fläche und die Ebene den geringsten Abstand im Schnittpunkt haben.

Ist es so korrekt?

Sorry, wenn es nervt, aber ich würde es gerne verstehen.
Danke

03.02.2013, 13:14

Dopap

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das Problem ist, dass wir jetzt auf einem unfruchtbaren Gebiet gelandet sind.

Ich habe nachgerechnet und Schnittpunkte gefunden z.B.

$\begin{eqnarray*} S_1=\bigg (\frac {-97+\sqrt{481}}{24},\frac {-1+\sqrt{481}}{12},4\bigg ) \end{eqnarray*}$

damit ist schon mal ein Punkt schon abgehakt.

-----------------------------------------

Und jetzt möchtest du mit dem Flächenpunkt P(1,1,1) was machen verwirrt

03.02.2013, 13:29

niksc

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Es ging nur um das Verständnis wie ich den Abstand vom Flächenpunkt einer gegebenen Fläche zu einer gegebenen Ebene bestimmen kann.

Da das Bsp doof gewählt ist, würde mich der allgemeine Weg interessieren.
Oder, was ja dem auch nahe kommt,... es wäre interessant zu erfahren welcher Punkt in der Fläche der Ebene am nähsten ist (oder anders herum).

Meine Überlegung:
Der Punkt in der Fläche mit dem geringsten Abstand zu einer Ebene ist doch der Punkt, in welchem der Normalenvektor der Fläche dem Normalenvektor der Ebene entspricht.

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