Grade von Körpererweiterungen Stolpersteine

02.02.2013, 12:55	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Grade von Körpererweiterungen Stolpersteine Hallo allerseits! Folgendes bereitet mir etwas Kopfzerbrechen, wäre schön wenn ihr mir helfen könntet Und zwar soll ich den Grad folgender Körpererweiterungen finden und stoße dabei auf jeweils verschiedene Probleme: 1) $\begin{eqnarray} Q(\sqrt{2},\sqrt[6]{18})/Q \end{eqnarray}$ Ich habe mithilfe der Minimalpolynome herausgefunden, dass $\begin{eqnarray} Q(\sqrt{2})/Q \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ hat und dass $\begin{eqnarray} Q(\sqrt[6]{18})/Q \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ hat. Tja schade, denn 2 und 6 sind ja bekanntlich nicht teilerfremd, weshalb ich die Grade nicht multiplizieren kann um den Grad von $\begin{eqnarray} Q(\sqrt{2},\sqrt[6]{18})/Q \end{eqnarray}$ zu finden. Wie gehe ich in einem solchen Fall vor? edit: Die Lösung soll 6 sein. Ist also bei nicht teilerfremden Graden der Grad der gesamten Erweiterung einfach der größte der einzelnen Grade? Wär ja schön einfach 2) $\begin{eqnarray} Q(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{-1}})/Q \end{eqnarray}$ Mein Minimalpolynom sieht hier folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} X^4 + 18X^2 -9 \end{eqnarray}$ Dieses ist nach Eisenstein irreduzibel und normiert ist es ohnehin. Dementsprechend finde ich für die oben genannte Körpererweiterung den Grad $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ heraus. Aber der Prof hat uns noch die Ergebnisse durchgegeben und anscheinend muss hier Grad $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ rauskommen. Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank für eure Hilfe! PS: $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ sollen die rationalen Zahlen sein, aber das im Wiki angegebene Kürzel \Q funktioniert nicht
02.02.2013, 13:17	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, 1) es ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \in \mathbb Q [\sqrt[6]{18}] \end{eqnarray}$ 2) Ist bei Euch $\begin{eqnarray} \sqrt{-1}=1 \end{eqnarray}$ ? Wolframalpha sagt mir, dass dein Polynom nicht $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\pm i} \end{eqnarray}$ als NST hat. P.S. Es ist \mathbb Q für die rationalen Zahlen. Welches Wiki erzählt denn was von \Q?
02.02.2013, 13:34	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Antwort! 1) Ah okay, vielen Dank! 2) Wie genau meinst du das?Ich habe folgende Rechnung gemacht: $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{-1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \sqrt{2} + \alpha\sqrt{-1} = \sqrt{3} \mid^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\alpha^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{-1}\alpha^2 - \alpha^2 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\sqrt{2}\sqrt{-1}\alpha^2 = 3 - 3\alpha^2 \mid^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 42(-1)\alpha^4 = 9-18\alpha^2 + 9\alpha^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha^4 + 18\alpha^2 - 9 = 0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} X^4 + 18X^2 -9 \end{eqnarray*}$ --> Grad = 4 Wo genau habe ich denn da die Tomaten auf den Augen?
02.02.2013, 13:36	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach shit, selbst gefunden, wie blöd!! Okay, also habe ich $\begin{eqnarray} 17\alpha^4 + 18\alpha^2 - 9 = 0 \end{eqnarray}$ und somit ist alpha Nullstelle de Polynoms $\begin{eqnarray} 17X^4 + 18X^2 - 9 \end{eqnarray}$ Das ist ja nicht normiert. Und nu? PS: dieses hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX da steht das unten als "weitere Abkürzungen": "Ergänzend dazu gibt es auch die Abkürzungen \C \N \Q \R \Z" Aber die von dir genannte steht da auch als gültige, hatte das auch probiert aber mich vermutlich vertippt. $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$
02.02.2013, 13:55	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach wie vor ist alpha nicht NST davon wie eine Probe zeigt. In Zeile 3 ist ein Rechenfehler. P.S. In der ersten Zeile des Artikels steht, dass das LATeX Befehle sind die in Wikipedia funktionieren. Und einige funktionieren auch nur dort.
03.02.2013, 09:12	Homer42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, oh man du hast völlig recht :/ wie blöd. Okay, also nun bin ich beim Minimalpolynom $\begin{eqnarray} 9X^4 - 6X^2 + 9 \end{eqnarray}$ angekommen. Nach wie vor jedoch erscheint mir der Grad eindeutig 4 und nicht 8 zu sein. Das mit der Nullstellenprobe gestaltet sich irgendwie als schwierig, ich glaube ich sollte mich mal in wolfram alpha reinfuchsen, wenn der sowas kann
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03.02.2013, 10:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Evtl. lohnt es sich auch hier mal vom Minimalpolynom wegzugehen und anders an die Sache ranzugehen. Wir haben den offensichtlichen Körperturm $\begin{eqnarray} \mathbb Q \subset \mathbb Q(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i}) \subset \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i) \end{eqnarray}$ Nun gilt, aber $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i} = \frac{3}{\sqrt{6}+i\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ , also können wir noch einen Körper einschieben: $\begin{eqnarray} \mathbb Q \subset \mathbb Q(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i}) \subset \mathbb Q(\sqrt{6},i\sqrt{3}) \subset \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},i) \end{eqnarray}$ . Der eingeschobene Körper hat Grad 4 über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , also hat der fragliche Körper höchstens Grad 4. Jetzt braucht man nur noch ein ganz kleines Argument, dass er nicht Grad 2 hat. Dann hat man in der Tat die Gleichheit: $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i}) = \mathbb Q(\sqrt{6},i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ Dein Prof (falls er das wirklich behauptet hat) liegt also falsch und deine Überschrift "Stolpersteine" war gar nicht so schlecht gewählt. Mit etwas Erfahrung in Galoistheorie sieht man allerdings direkt, dass der Körper Grad 4 haben muss, da der Erzeuger von $\begin{eqnarray} \sigma: \sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2}, \sqrt{3} \mapsto - \sqrt{3}, i \mapsto - i \end{eqnarray}$ festgehalten wird.

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