Cholesky Zerlegung

02.02.2013, 13:25	andrea2693	Auf diesen Beitrag antworten »
Cholesky Zerlegung Meine Frage: Wie funktioniert eine Cholesky Zerlegung mit einer 4x3 Matrix die weder Symm und noch Quadratisch ist? Meine Ideen: Habe leider keine Idee :/
02.02.2013, 15:56	Colorado	Auf diesen Beitrag antworten »
Das funktioniert gar nicht, weil du mit Cholesky per Definition nur pos. def. symm. Matrizen zerlegst. Was aber geht: Falls du ein LGS $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ hast mit einer $\begin{eqnarray} (4\times 3) \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit vollem Rang, dann kannst du es umformen zu $\begin{eqnarray} A^TAx=A^Tb \end{eqnarray}$ und du wendest Cholesky auf $\begin{eqnarray} A^T A \end{eqnarray}$ an. Denn $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ ist pos. def. und symm.
02.02.2013, 16:28	Colorado	Auf diesen Beitrag antworten »
Was vielleicht noch wichtig wäre zu erwähnen: Es funktioniert nur, wenn Ax=b auch tatsächlich eine Lösung hat. Wenn du vorher nicht weißt, ob es sie gibt, wäre zusätzlich eine Probe sinnvoll.
05.02.2013, 18:15	TeKilla	Auf diesen Beitrag antworten »
So weit so gut, aber wie genau löse ich das ganze jetzt? Ich habe zufällig genau das gleiche Problem (Andrea du schreibst nicht zufällig morgen Numerik für Informatiker an der TU BS? ) Hier mal die komplette Aufgabe: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Es sei das Lineare Ausgleichsproblem Ax~b mit A= $\begin{eqnarray} <br /> \begin{matrix}<br /> 3 & 3 & 4 \\<br /> 3 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 0 & 2 \\<br /> 3& 2 & 1<br /> \end{matrix}<br /> \end{eqnarray}$ und b=(2,0,1,2)^T Man verwende die Cholesky-Zerlegung zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Für G (also die Cholesky Zerlegung von A^TA habe ich eine Lösung die auch passt (habe die Probe mit Wolfram Alpha gemacht, wenn ich GG^T rechne erhalte ich wieder A^TA). Wie geht es nun weiter? Ist es richtig: Gy=A^Tb und dann G^Tx = y zu berechnen? Hier komm ich nämlich nicht weiter da A^Tb= $\begin{eqnarray} <br /> \begin{matrix}<br /> 13 \\<br /> 10 \\<br /> 12 <br /> \end{matrix}<br /> \end{eqnarray}$ D.h. es gibt nur drei Einträge, G ist aber 44 :-/
05.02.2013, 18:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Gy=A^Tb und dann G^Tx = y sieht für mich richtig aus. A^TA ist doch eine 3x3 Matrix. Wie kommst du bei G auf eine 4x4 Matrix?
05.02.2013, 19:04	TeKilla	Auf diesen Beitrag antworten »
oh gott ich habe AA^T gerechnet und nicht A^TA dann hab ichs jetzt, danke
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