implizit formulierte funktion

02.02.2013, 21:48

jakobka

implizit formulierte funktion

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein dickes Problem:

betrachtet sei die implizit formulierte funktion F(x,y)=y²-x²(a+x)/(a-x)

bestimmen sie die Extremstellen

Meine Ideen:
Leider habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll :/

02.02.2013, 23:25

mYthos

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Ist dies eine implizite Funktion in R2 mit F(x,y) = 0?
Dann nach y umstellen oder besser implizit ableiten.
---------
Andernfalls, bei z = F(x, y) ist diese Funktion in R3 gegeben.
Dann setze die partiellen Ableitungen Null.

mY+

03.02.2013, 10:54

Jakobka

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Ja sry =0 muss da stehen.

wie funktioniert das Ableiten in impliziter Form?

Sry, wenn die Frage "dumm" ist, ich habe nur einfach keine Ahnung. Solche Fragen sind leider in unseren Prüfungen, werden aber in der Vorlesung nie angesprochen

03.02.2013, 14:25

mYthos

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Ich zeige dir dies einmal an einem Beispiel (Kreisgleichung):

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0 \end{eqnarray*}$

--> Ableitung nach x (Kettenregel bei der Ableitung des y-Terms, da y eine Funktion von x ist!)

$\begin{eqnarray*} 2x + 2y \cdot y' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = - \frac x y \end{eqnarray*}$

Für einen Punkt (x0; y0) auf der Kurve, mit y0 = f(x0), gilt dann:

$\begin{eqnarray*} y'(x_0) = - \frac {x_0}{y_0} \ \text{ ... Steigung der Tangente} \end{eqnarray*}$

Um noch zur expliziten Ableitung zu gelangen, kann für y0 noch $\begin{eqnarray*} f(x_0) = \sqrt{r^2 - x_0^2} \end{eqnarray*}$ gesetzt werden:

$\begin{eqnarray*} y'(x_0) = - \frac {x_0}{\sqrt{r^2 - x_0^2}} \end{eqnarray*}$

mY+

03.02.2013, 15:56

Jakobka

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mh,

das heißt da wird eine inhomogene differentialgleichung erzeugt? verwirrt

03.02.2013, 21:07

mYthos

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So kann man es zwar sehen, aber du musst diese spezielle Gleichung nicht auflösen.
Der Sinn der impliziten Ableitung ist der, dass du in dieser direkt die Koordinaten von Punkten der Kurve einsetzen kannst und somit sofort zu den Tangentensteigungen dortselbst kommst.

mY+

03.02.2013, 21:41

Jakobka

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verstehe ich leider nicht was du damit meinst, sry dafür.

hoffentlich ist es nicht zu viel verlangt, wenn du mir es erklärst smile

04.02.2013, 02:19

mYthos

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Lass' mal das Ding mit der Diffgl und schaue dir doch nochmals die implizite Ableitung der Kreisgleichung an, welche ich dir ausführlich erklärt habe.
Wenn du das mal behirnt hast, kannst du auch deine Aufgabe lösen.

Anmerkung: Aus der impliziten Ableitung nach y' umstellen und Null setzen --> Extremstellen! Mittels y'' prüfen, x = 0 ist keine Extremstelle

mY+

a = 2

[attach]28253[/attach]

04.02.2013, 07:59

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
Für einen Punkt (x0; y0) auf der Kurve, mit y0 = f(x0), gilt dann:

$\begin{eqnarray*} y'(x_0) = - \frac {x_0}{y_0} \ \text{ ... Steigung der Tangente} \end{eqnarray*}$

Um noch zur expliziten Ableitung zu gelangen, kann für y0 noch $\begin{eqnarray*} f(x_0) = \sqrt{r^2 - x_0^2} \end{eqnarray*}$ gesetzt werden:

$\begin{eqnarray*} y'(x_0) = - \frac {x_0}{\sqrt{r^2 - x_0^2}} \end{eqnarray*}$

mY+

Der erste Teil der Behauptung stimmt natürlich, aber dass man die Kreisgleichung

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$

nach y auflösen könne, ist leider nur ein Märchen, das nichtsdestotrotz immer wieder in der Schule erzählt wird... Die Kreisgleichung kann nur lokal nach y aufgelöst werden, aber nicht global, das ist die traurige Wahrheit... unglücklich

Man sieht es ja auch hier sehr schön, dass etwas nicht stimmen kann... Nimmt man nämlich einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ im 4.Quadranten, so ist, wie man sich durch Anlegen einer Tangente sofort überzeugt, die Steigung positiv, obige Formel

$\begin{eqnarray*} y'(x_0) = - \frac {x_0}{\sqrt{r^2 - x_0^2}} \end{eqnarray*}$

liefert aber in diesem Fall ganz klar eine negative Steigung... geschockt

04.02.2013, 08:19

Leopold

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Jetzt bist du aber sehr streng, was das Wort "auflösen" betrifft. Im Sinne, wie es in der Umgangssprache der Mathematik verwendet wird, läßt sich die Gleichung durchaus nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen. Allerdings hätte mYthos noch das negative Vorzeichen der Wurzel beachten: $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray*}$ , und zum Vorzeichen eine erläuternde Bemerkung machen müssen (obere/untere Halbebene).
Daß mit dieser "Auflösung" im strengen Sinn keine Funktion definiert wird, steht auf einem andern Blatt.

04.02.2013, 08:33

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Daß mit dieser "Auflösung" im strengen Sinn keine Funktion definiert wird, steht auf einem andern Blatt.

Naja, aber genau darum geht es ja hier... Deine "Beschreibung"

$\begin{eqnarray*} y=\pm\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

bestätigt im Grunde nur das was ich oben gesagt habe, nämlich dass man lokal - also mit dem Wissen, ob sich der Punkt in der oberen oder unteren Halbebene befindet - sehr wohl nach y auflösen kann, aber eben nicht global... Ich wollte hier nur nochmals auf diesen Unterschied hinweisen, weil er in der Schule oft verwischt wird... Insbesondere gibt es dann auch oft Schüler, welche sich wundern, dass bei der Eingabe von z.B.

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

in einem Graphiktool eben nicht der Einheitskreis dabei herauskommt... geschockt

04.02.2013, 12:41

Jakobka

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sry,

ich versteh einfach nicht wie ich das auf die obige fkt anwenden kann. verwirrt

04.02.2013, 13:06

Leopold

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RE: implizit formulierte funktion
$\begin{eqnarray*} y^2 - x^2 \cdot \frac{a+x}{a-x} = 0 \end{eqnarray*}$

Beide Seiten nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzieren! Na ja, rechts bleibt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , denn die Ableitung der Konstanten $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist wieder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Und links mußt du beachten, daß $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ keine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängige Größe ist: $\begin{eqnarray*} y = y(x) \end{eqnarray*}$ . Denke an die Kettenregel.

04.02.2013, 13:06

mYthos

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$\begin{eqnarray*} F(x,y) = y^2 - x^2 (a + x)(a - x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 - a^2x^2 + x^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Siehe Korrektur von Leopold!

Und jetzt - wie schon erklärt - implizit ableiten ...

mY+

04.02.2013, 13:12

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = y^2 - x^2 (a + x) \color{red} (/) \color{black} (a - x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 - a^2x^2 + x^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt - wie schon erklärt - implizit ableiten ...

mY+

jakobka hat eine Division, wo du eine Multiplikation hast.

04.02.2013, 13:20

mYthos

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Ohh, komplett übersehen!
Danke für die Aufmerksamkeit!

Auch mit der Division geht's ganz gut.
Für a = 2 z. B. sieht die Kurve so aus:

[attach]28256[/attach]

Beachte, dass generell gelten muss: |x| < a und am Umkehrpunkt gilt auch noch das Gleichheitszeichen.

mY+

04.02.2013, 13:52

Jakobka

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mh,

komme leider wirklich nicht weiter...

habe nochmals überlegt:

wenn ich jetzt sage der limes von (a+x)/(a-x) geht gegen -1

dann setzte ich das in meine gleichung ein:

y²-x²-1=0

y=wurzel aus (x²+1)

y'=x/wurzel(x²+1)

naja bringt mir auch irgendwie nichts

04.02.2013, 13:57

mYthos

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Nein, du sollst - wie es Leopold auch schon geschrieben hat - einfach links (und rechts) ableiten! Rechts kommt wieder 0.

Hinweis: Die Ableitungen der y-Terme sind nach der Kettenregel noch mit der inneren Ableitung y' zu multiplizieren: z. B. wird die Ableitung von 3y² gleich 6y*y' (!)
Und y' ist ja das, welches du ausrechnen musst, daher wird dann die Gleichung nach y' umgestellt!

mY+

04.02.2013, 14:11

Jakobka

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2*y*y' - (2xa+3x²)(a-x)+(-x²*a+x³) / (a-x)²

jetzt habe ich zwei verschiedene y drin?!

04.02.2013, 14:23

mYthos

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Die y stören nicht weiter, y stellt ja den Funktionswert selbst dar.
Du sollst nach y' umstellen, wie dir schon so oft gesagt!

Und schaue nochmals über deine Ableitung darüber, die stimmt nämlich nicht.

mY+

04.02.2013, 14:27

Jakobka

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2*y*y' - ((-2xa+3x²)(a-x)-(-1)(-x²a+x³))/(a-x)²

besser?

04.02.2013, 15:05

mYthos

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Es wäre gut, wenn du deine Rechnung näher ausführst, denn sonst kann man Fehler nicht feststellen.

Zitat:

2*y*y' - ((-2xa+3x²)(a-x)-(-1)(-x²a+x³))/(a-x)²

stimmt noch nicht ganz, denn es gibt noch einen Vorzeichenfehler, denke ich, es sollte dort

Zitat:

2*y*y' - ((+2xa+3x²)(a-x)-(-1)(+x²a+x³))/(a-x)²

stehen. Nun musst du das Ganze noch vereinfachen und nach y' umstellen, du solltest

$\begin{eqnarray*} y' = -\frac{x(x^2 - ax - a^2)}{\color{red}y\color{black}(x - a)^2} \end{eqnarray*}$ [EDIT: Vorzeichenfehler berichtigt und y hinzugefügt, die 2 entfernt / Der Tag war heut' schon zu lang Big Laugh

]

bekommen.

mY+

04.02.2013, 15:36

Jakobka

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2*y*y' - ((+2xa+3x²)(a-x)-(-1)(+x²a+x³))/(a-x)²

da vorne fehlt auch noch ein + (fett) oder?!

wohin verschwindet denn das y?

sry, für die fragerei. bin dir schon jetzt sehr, sehr dankbar, dass du mir hilfst. ich schreibe in ein paar tagen eine für mich sehr wichtige matheklausur.

05.02.2013, 00:46

mYthos

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Sorry, das y habe ich vergessen hinzuschreiben, es steht natürlich ebenfalls im Nenner! Sh. EDIT!
Und das Plus dürfte dort auch stimmen, du musst jedenfalls das rauskriegen, was ich dir schon hingeschrieben habe.

mY+

05.02.2013, 10:40

Jakobka

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super, vielen lieben dank.

ich habe es selbst nochmal gemacht und komme auch auf das ergebnis.

jetzt habe ich nur noch den zähler = 0 gesetzt, um die nullstellen zu bestimmen.

x1=0 x2=3a/2 x3=-a/2

darf man fragen, in welchem verhältnis du zur mathematik stehst?

dürfte ich dir noch mehr solche fragen stellen?

05.02.2013, 10:51

Jakobka

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Leider ist niemand aus meinem Umfeld gut in Mathematik und ich schreibe am Freitag eine wichtige Klausur...

Bin sonst auch nicht der Typ der alles geschenkt will. Wenn es gehen würde, würde ich mich auch sehr gerne erkenntlich zeigen smile

05.02.2013, 12:42

mYthos

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Ist wirklich nicht notwendig! Die Hilfe hier im Forum kommt gerne und unentgeltlich!

Bei x2 und x3 habe ich etwas anderes (da kommt die Wurzel aus 5 darin vor), wenn ich mich nicht schon wieder wo verrechnet habe Big Laugh

____________________

Ich habe zwar Lehramt für Mathe/Physik/Chemie gemacht, bin aber kurz darauf viele Jahre Techniker und Betriebsleiter bei der Telekom gewesen. Dort habe ich auch in den Fächern Elektrotechnik, Übertragungstechnik und Mathematik unterrichtet.

Bevorzugtes Fachgebiet ist also angewandte Mathematik bzw. Schulmathematik, wenngleich ich mich - einfach aus Interesse - sehr oft auch in den Hochschulbereich "verirre". Die Grenze ist ja da auch nicht immer so klar gezogen.

Gr
mY+

05.02.2013, 13:17

Jakobka

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Oha, dann habe ich es ja mit einem richtigen Experten zu tun smile

Du hast recht ich Blödmann hab die 1/4 vergessen. Hammer

Ich finde es nicht selbstverständlich solche Hilfe zu bekommen. smile

Ich habe, um ehrlich zu sein, große Angst vor dieser Klausur, da ich die unbedingt bestehen muss. Ansonsten war die ganze Arbeit in meinem Studium für die Katz unglücklich

Darf ich dir noch eine Frage stellen? Oder muss ich einen neuen Thread aufmachen

05.02.2013, 13:41

mYthos

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mY+

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