Komplexe Zahlen Z^n=1 Z³=1

03.02.2013, 11:07

SabineWal

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Komplexe Zahlen Z^n=1 Z³=1

Meine Frage:
Guten Tag,

ich habe folgendes Problem:

Ich soll die Gleichung Z³=1 lösen

Meine Ideen:
Ich habe als Lösung e^0 und e^i*pi

für z²=1 gegeben.

Wie komme ich aber bloss dadrauf?

Bin völlig ratlos. Hoffentlich kann mir einer helfen... Viiiiiielen Dank smile

smile

03.02.2013, 11:20

lgrizu

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RE: Komplexe Zahlen Z^n=1 Z³=1
Welche Glecihung ist den zu lösen:

$\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z^2=1 \end{eqnarray*}$ ?

Bestimme zuerst einmal die Polarkoordinatendarstellung der Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Dann kann man bequem die dritten wurzeln ziehen.

Oder man sieht, dass $\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} z_1=1 \end{eqnarray*}$ hat und macht weiter mit Polynomdivision und pq Formel.

03.02.2013, 12:01

SabineWal

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Im Grunde beides.

Ich habe mehere solcher Aufgaben. Ich weiss aber keinen Ansatz.

polarform:

r=wurzel(x²+y²)=1

cos(phi)=1/1

phi=0

und nun? traurig

traurig

03.02.2013, 12:06

lgrizu

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Zunächst einmal ist das Argument von der Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$ , richtig.

Nun die Wurzeln bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r} \cdot \left[ \cos \left( \frac{\phi+2 k \pi}{n} \right)+i \cdot \sin \left( \frac{\phi+2 k \pi}{n} \right) \right] \end{eqnarray*}$

Die Lösung von $\begin{eqnarray*} z^2=1 \end{eqnarray*}$ ist, wie bereits aus der Schule bekannt: $\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\pm 1 \end{eqnarray*}$ , das sollte man wissen......

03.02.2013, 12:54

SabineWal

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Dass z²=+-1 ist weiss ich wohl.

Aber was ist das für eine Formel?

Sry, dass ich das nicht sofort verstehe unglücklich

unglücklich

03.02.2013, 13:05

lgrizu

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Kein Problem....

Das ist die Formel für die n-ten Wurzen einer Zahl.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra existieren davon n Stück (jedes Polynom zerfällt über C in Linearfaktoren).

Diese kann man nun berechnen:

$\begin{eqnarray*} \exp( i \phi)=\cos \phi + i \sin \phi ~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n] {( \exp ( i \phi)}=(\exp(i \phi))^{\frac{1}{n}}=\exp \left(\frac{i \phi}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Nun sind die trigonometrischen Funktionen $\begin{eqnarray*} 2-\pi \end{eqnarray*}$ periodisch, also ergibt sich für die n-ten Wurzeln:

$\begin{eqnarray*} \exp\left( i \cdot \frac{ \phi+2k \pi}{n} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,...,(n-1) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in (*) ergibt das

$\begin{eqnarray*} \exp\left( i \cdot \frac{ \phi+2k \pi}{n} \right)=\cos \left( \frac{\phi+2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\phi+2k\pi}{n} \right) \end{eqnarray*}$

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03.02.2013, 15:44

SabineWal

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das heisst eine lösung wäre

e^i*phi+2*k*pi

also bei z²=1

e^i*phi

und e^i*phi+2pi

und bei z³=1

e^i*phi

e^i*phi+2pi

e^i*phi+6pi

Erstaunt2

Erstaunt2

03.02.2013, 18:29

lgrizu

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Wir betrachten einmal die Glecihung $\begin{eqnarray*} z^2=1 \end{eqnarray*}$ .

Das Argument von $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$ , der Betrag ist 1, soweit klar, oder?

Dann haben wir folgendes:

das

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|} \cdot \exp\left(i \cdot \frac{ \phi+2k \pi}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Also setzten wir ein: n=2 (es handelt sich um die zweite Wurzel) und k=0,1 und erhalten:

$\begin{eqnarray*} k=0 : \sqrt[2]{1} \cdot \exp\left(i \cdot \frac{ 0+2\cdot 0 \cdot \pi}{2} \right)=\sqrt[2]{1} \cdot \exp\left(0 \right)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1 : \sqrt[2]{1} \cdot \exp\left(i \cdot \frac{ 0+2\cdot 1 \cdot \pi}{2} \right)=\sqrt[2]{1} \cdot \exp\left(i \pi \right)=-1 \end{eqnarray*}$

Die dritten Wurzeln ergeben sich analog, findest du sie selber?

03.02.2013, 18:45

SabineWal

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ok,
ich versuchs smile

smile

z³=1

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]abs({z})* exp(0+2*0*pi/3) <br /> <br /> \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]abs({z})* exp(0+2*1*pi/3) <br /> <br /> \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]abs({z})* exp(0+2*3*pi/3) \end{eqnarray*}$

stimmt da was ? Engel

Engel

03.02.2013, 18:53

lgrizu

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Also teilweise richtig (wenn man vernachlässigt, dass nicht alle Klammern richtig gesetzt wurden):

$\begin{eqnarray*} k=0 : \sqrt[3]{1} \cdot \exp \left( {\color{red}i} \cdot \frac{0+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1 : \sqrt[3]{1} \cdot \exp \left( {\color{red}i} \cdot \frac{0+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2 : \sqrt[3]{1} \cdot \exp \left( {\color{red}i} \cdot \frac{0+2 \cdot {\color{red}2} \cdot \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$

Zu den Klammern:

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0+ 2 \cdot 1 \cdot \pi /3 \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0+\frac{2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray*}$

Tatsächlich herrscht in diesem Fall Gleichheit mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{0+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray*}$ , was aber nur daran liegt, dass das Argument 0 ist.

Das, was ansonsten falsch bei dir ist habe ich rot angemerkt (i vergessen und statt k=2 hast du k=3 eingesetzt).

03.02.2013, 19:34

SabineWal

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ups

Ups

bin aber sehr froh, dass ich das jetzt einigermaßen kapiert habe.

viiiiieeelen lieben dank Wink

Wink

Mit Zunge

03.02.2013, 19:39

lgrizu

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Wenn du magst können wir ja noch die ein oder andere Aufgabe durchrechnen oder besser: du versuchst es selber und postest die Aufgabe inklusive deiner Rechnung und der Ergebnisse??

03.02.2013, 19:45

SabineWal

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sry, muss nochmal nerven Tränen

Tränen

:

was mache ich denn wenn dort z³=3 steht?

03.02.2013, 19:57

lgrizu

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Rechne zuerst den Bertrag aus, das ist welcher?

03.02.2013, 20:17

SabineWal

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ähm

dritte wurzel aus 3?!

03.02.2013, 20:25

lgrizu

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Nein der Betrag ist erst mal 3.

Wir machen das einmal ganz allgemein:

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} z^n=a+bi \end{eqnarray*}$

1. Schritt:

Betrag ausrechnen: $\begin{eqnarray*} |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

2. Schritt:

Betrag ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} a+bi=\sqrt{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i \right)=\sqrt{a^2+b^2} \cdot (x+yi) \end{eqnarray*}$

3. Schritt:

Das Argument von $\begin{eqnarray*} x+yi \end{eqnarray*}$ bestimmen durch $\begin{eqnarray*} x+yi=\cos \phi + i \sin \phi \end{eqnarray*}$ , Koeffizientenmvergleich liefert:

$\begin{eqnarray*} \cos \phi=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \phi=y \end{eqnarray*}$

4. Schritt:

Wir schreiben $\begin{eqnarray*} z^n=a+bi=\sqrt{a^2+b^2} \cdot ( \cos \phi+i \sin \phi) \end{eqnarray*}$

5. Schritt:

Wir wenden obige Formel an und ziehen die Wurzeln:

$\begin{eqnarray*} z_k=\sqrt[n]{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \left[ \cos \left(i \cdot \frac{ \phi+2 k \pi}{n} \right)+i \sin\left(i \cdot \frac{ \phi+2 k \pi}{n} \right) \right] \end{eqnarray*}$ für k=0,1,...,(n-1).

So, jetzt versuch das mal umzusetzen, ist jetzt auch Tatort-Zeit..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2013, 21:25

mYthos

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Zitat:

Original von SabineWal
ähm

dritte wurzel aus 3?!

Wenn du damit den Betrag des Ergebnisses gemeint hast, dann stimmt das.

mY+

03.02.2013, 22:11

SabineWal

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Oh Gott,

jetzt bin ich völlig verwirrt Erstaunt1

Erstaunt1

03.02.2013, 22:56

lgrizu

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Was verwirrt dich denn so?

Wir können das doch anhand deines Beispiels einam durchgehen:

1. SChritt:

Betrag bestimmen: $\begin{eqnarray*} |3|=3 \end{eqnarray*}$

2. Schriit:

Betrag ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 3=3 \cdot (1+0i) \end{eqnarray*}$

3. Schritt:

Argument bestimmen von $\begin{eqnarray*} 1+0i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \cos \phi =1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \phi=0 \end{eqnarray*}$ damit ist $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$

4. Schritt:

$\begin{eqnarray*} 3=3 \cdot ( \cos(0)+ i \sin(0)) \end{eqnarray*}$

5. Schritt:

$\begin{eqnarray*} z_k=\sqrt[n]{3} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+2 \cdot k \cdot \pi}{n} \right)+i \cdot \sin\left( \frac{0+2 \cdot k \cdot \pi}{n} \right) \right] \end{eqnarray*}$

Für n=3 und k=0,1,2

$\begin{eqnarray*} k=0 : z_0=\sqrt[3]{3} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} \right)+i \cdot \sin\left( \frac{0+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} \right) \right]=\sqrt[3]{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1 : z_1=\sqrt[3]{3} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \right)+i \cdot \sin\left( \frac{0+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \right) \right]=\sqrt[3]{3} \cdot \left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2 : z_2=\sqrt[3]{3} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} \right)+i \cdot \sin\left( \frac{0+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} \right) \right]=\sqrt[3]{3} \cdot \left( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i \right) \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 13:42

SabineWal

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zuerst hast du das doch mit er e-funktion gemacht...

oh oh, bitte mach es nicht so kompliziert für mich Gott

Gott

traurig

04.02.2013, 13:59

Steffen Bühler

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Vielleicht wird's leichter für Dich, wenn Du Dir klarmachst, daß so eine Gleichung dritten Grades wie z³=3 drei Lösungen hat, die sich auf einem Kreis wie Perlen auf einer Kette gleichmäßig verteilen. Die Hauptlösung, also die reelle dritte Wurzel aus 3, hast Du ja schon genannt. Die anderen beiden sind dann, wenn man an die Perlen denkt, im Abstand 120° bzw. 240° auf dem Kreis.

Viele Grüße
Steffen

04.02.2013, 14:17

SabineWal

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mh,

das mit der gradverschiebung hatten wir ja schon irgendwie

also:

dritte wurzel aus 3 * exp((i*0+k*pi)/3)

wobei das k=0,1,2 ist

stimmt da was?

bitte seid so lieb und sagt mir was einfaches smile

smile

04.02.2013, 14:29

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von SabineWal
dritte wurzel aus 3 * exp((i*0+k*pi)/3)

Du meinst das Richtige, schreibst aber leider sehr unsauber. Wenn man bei Dir k=1 setzt, steht da

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \cdot e^{\frac {i \cdot 0 + \pi}3} \end{eqnarray*}$

Zunächst muß das i vor den Exponenten, weil der ja rein imaginär sein muß:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \cdot e^{i \cdot {\frac {0 + \pi}3}} \end{eqnarray*}$

Weiter drehst Du so ja immer nur um $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}3 \end{eqnarray*}$ weiter, es müssen aber $\begin{eqnarray*} \frac {2\pi}3 \end{eqnarray*}$ , also eben 120° sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \cdot e^{i \cdot {\frac {2\pi}3}} \end{eqnarray*}$

Das ist dann in der Tat die zweite Lösung. Und bei der dritten eben $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

04.02.2013, 14:47

SabineWal

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mh,

also allgemein kann ich sagen für z^n=x

nte wurzel aus x * exp((i(0+2*k*pi)/n)

wobei das k=0,1,2...(n-1) ist

smile

smile

04.02.2013, 14:50

Steffen Bühler

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Völlig richtig, wobei Du das "0+" natürlich weglassen kannst.

Viele Grüße
Steffen

04.02.2013, 15:25

SabineWal

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Tanzen

super, so easy ist das

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