Widerspruchsbeweis Gleichmäßige Stetigkeit cos(x²)

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epsdet Auf diesen Beitrag antworten »
Widerspruchsbeweis Gleichmäßige Stetigkeit cos(x²)
Meine Frage:
Guten Abend,

ich suche jetzt seit bestimmt 2 Std nach einem Widerspruchsbeweis, um zu zeigen, dass die Funktion cos(x²) _nicht_ gleichmäßig stetig ist.

Meine Ideen:
Ich kann zwar die Beweise im Netz für die gleichmäßige Stetigkeit und ebenso die für die normale Stetigkeit nachvollziehen, aber ich werde das Gefühl nicht los, dass ich selber nicht so einfach auf schlüssige Beweise komme!
Ich habe mir unter anderem mal den Satz: [latex] \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 , \exists x,y \in \mathbb R : | x-y | < \delta \Rightarrow | f(x) - f(y) | < \epsilon [\?atex]
umgestellt nach: [latex] \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 , \exists x,y \in \mathbb R : | x-y | < \delta \Rightarrow | f(x) - f(y) | \geq \epsilon [\latex]

In meinen Augen könnte ich hier einfach [latex] \epsilon = \delta[\latex] nehmen und dann zeigen dass mit [latex] x=\sqrt{\pi} und y=\sqrt{2* \pi} [\latex] folgt dass f(x)-f(y) >= Epsilon ist... Ich bin mir sicher, dass man das nicht einfach so machen kann, allerdings fehlt mir hier einfach das Verständnis wie ich vorgehen soll.

In anderen Beispielen ist man ja von der Form [latex] |x-y| auf |f(x)-f(y)| gekommen, durch geschicktes Abschätzen. Allerdings ist das in meinen Augen sinnlos hier was abschätzen zu wollen da |cos(x²)-cos(y²)| \leq 2 ist [\latex]

Ich bin dankbar für jede Hilfe
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, quatsch. Funktion ist nicht periodisch.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich auch zuerst gedacht, stetig ist diese Funktion jedenfalls, da es eine Komposition stetiger Funktionen ist.
Allerdings ist x^2 nicht gleichmäßig stetig und bei cos(x) bin ich mir gerade nicht sicher, aber wenn du sagst, dass das aus der periodizität folgt, dann hört sich das erstmal ok an für mich.

Auf dem Aufgabenblatt von mir steht allerdings wörtlich: "Die Funktion f : R -> R sei definiert durch x -> cos(x²). Zeigen Sie, dass f nicht gleichmäßig stetig ist."

Dann wird wohl die Aufgabe falsch formuliert worden sein nehme ich an?

Ich habe natürlich auch versucht zu beweisen, dass cos(x²) gleichm. stetig ist, weil ich einfach irgendwo mal auf etwas "unpassendes" stoßen wollte, allerdings wüsste ich auch nicht wie ich das angehen kann. Darf man hier auch mit Folgen arbeiten? Wenn ja, würde mir das etwas bringen den Beweis mit Folgen aufzubauen?

Danke nochmals

PS: Ich hatte außerdem angenommen, wenn ich gleichm. stetigkeit beweisn möchte, dann darf die Funktion nicht zu steil ansteigen (hier ist jetzt mein Problem, dass ich das nicht formal hinschreiben kann). cos(x²) würde aber ja im unendlichen auch unendlich stark ansteigen -> Ableitung: 2*x*-sin(x²)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich hab Quark erzählt, die ist ja gar nicht periodisch. So kommt's, wenn man was anderes nebenher macht ...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nee, arbeite mit -. Die Funktion wird an den Nullstellen immer steiler, je größer x wird. Daraus lässt sich zeigen, dass es zu jedem kein minimales gibt, sodass gleichmäßige Stetigkeit folgen würde.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte alternativ.
 
 
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, die Voraussetzung wäre nicht dass es zu jeden Epsilon ein Delta gibt, sondern, dass es ein Delta gibt, welches für jedes Epsilon gilt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es muss zu jedem ein geben, sodass auf dem gesamten Definitionsbereich, also hier , aus folgt, dass . Dass also das nur von abhängt und nicht von x.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dann hatte ich das schonmal richtig verstanden.
Mit den Wurzeln habe ich vorhin auch schon ein wenig rumprobiert.
Es gilt lim n -> oo x_n - y_n = 0
Das wäre für das Delta erstmal überhaupt kein Problem. Nun sehe ich aber auch kein Problem für Epsilon, weil ich nicht weiß in welche Beziehung ich Epsilon und Delta bringen soll
Ich kann einfach nicht auf bringen
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder darf ich hier einfach sagen für ist ??
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm z.B. und betrachte die Stetigkeit an den Nullstellen . Es gilt dann für , dass
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, man kann auch nehmen und die Stellen betrachten. Es sind dann die benachbarten Nullstellen, die das jeweilige bestimmen.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn jetzt damit gezeigt?
Muss ich nicht irgendwie einen Extremfall betrachten? Sowas wie z.B. und Dann würde ich rausbekommen
Und dann würde ich einfach irgendein Epsilon wählen, welches
Und damit habe ich gezeigt, dass es mindestens ein Epsilon gibt für das diese Folgerung nicht stimmt?

Ich frage mich allerdings immer noch, wie hier das von dem abhängt...
Kann ich dann einfach annehmen ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du missverstehst das --Verfahren. Schau mal bei wikipedia unter "Stetigkeit". Eine Funktion ist dann stetig am Punkt , wenn es für alle ein gibt, sodass aus folgt .

Für die gleichmäßige Stetigkeit ist erforderlich, dass dieses nicht abhängig vom Funktionsargument ist. Wenn man also eine Argumentfolge findet, sodass für ein bestimmtes die Folge der eine Nullfolge ist, dann ist die Funktion nicht gleichmäßig stetig.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar diesen Denkfehler habe ich erkannt, deswegen habe ich mich auch hier gemeldet smile
Trotzdem verstehe ich nicht wie ich jetzt auf die Abhänigkeit von Delta zu Epsilon komme ... oder kann ich hier auch ohne diese zu kennen einen Widerspruch finden bzw. das Gegenteil der gleichm. Stetigkeit beweisen?

Verstehst du denn wo mein Problem ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Sieh dir die Ergänzung zu meinem letzten Beitrag nochmal an. Zeige, dass für eine der oben erwähnten Argumentfolgen und einem geschickt gewählten die Folge der eine Nullfolge ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Klar, man kann auch nehmen und die Stellen betrachten. Es sind dann die benachbarten Nullstellen, die das jeweilige bestimmen.


Das wäre eine geschickte Wahl.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weißt du, dass bei einer Nullfolge von die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?
Welches bestimmte ist es denn in meinem Fall?

Ich habe mir jetzt zwei Folgen und zusammengestellt, so dass eine Nullfolge ist... soweit habe ich das verstanden. Mit welcher Begründung daraus jetzt folgt, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, verstehe ich nicht. Dann könnte ich ja immer Nullfolgen finden für jede Funktion.
Daraus schließe ich jetzt, dass man noch irgendwas zeigen muss... aber was genau soll das sein?
Diese Folgen setze ich jetzt in die Funktion cos(x²) ein. Dann erhalte ich wiederrum Folgen.
Die Folge besitzt einen konstanten Wert und ist damit konvergent.
Was kann ich mit diesen Informationen jetzt anfangen?

Ich bin da wirklich am verzweifeln. Entweder gibt es noch ein Detail, welches ich nicht verstanden habe oder ich stehe ziemlich auf dem Schlauch

Nachtrag: Ich dachte das soll hier nicht von abhängen sondern nur von
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Für die gleichmäßige Stetigkeit ist es erforderlich, dass man für jedes ein x-unabhängiges findet, sodass für alle innerhalb einer -Umgebung von jedem die Ungleichung gilt. (Achte auf die Bedingung !)

Das bedeutet doch anders herum, dass es reicht nur ein zu finden, für das man kein solches x-unabhängiges finden kann. Dafür reicht es, zu zeigen, dass es für eine bestimmte Argumentfolge für jedes mindestens ein gibt, für das es ein innerhalb einer -Umgebung von gibt mit .

Man kann dies auch anders ausdrücken: Die Menge , für die jeweils mit innerhalb gilt, kann bei fehlender gleichmäßiger Stetigkeit keine positive untere Schranke haben, das Infimum dieser Menge muss also Null sein: . Zeigt man also, dass die eine Nullfolge bilden, dann hat man die gleichmäßige Stetigkeit widerlegt.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß immer noch nicht wie ich die Abhängigkeit von hinbekommen soll.
Die normale Definition sagt mir :
Das heißt ich muss nur ein Epsilon finden, sodass
Mit und macht das ja nicht wirklich Sinn.
Denn dann hab ich
Weiterhin habe ich dann immer noch keine Ahnung ob überhaupt gilt.
Selbst wenn ich davon ausgehe, dass gilt, dann kann ich von dieser Form nicht auf kommen.
Jetzt hast du das nur mit gemacht, macht das einen Unterschied?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsdet2

Nachtrag: Ich dachte das soll hier nicht von abhängen sondern nur von


Nur dann, wenn die Funktion gleichmäßig stetig ist, hängt das nur von ab. Aber du willst hier ja zeigen, dass die Funktion gerade nicht gleichmäßig stetig ist. Deswegen musst du zeigen, dass die nicht nur von abhängen.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Man kann dies auch anders ausdrücken: Die Menge , für die jeweils innerhalb gilt, kann bei fehlender gleichmäßiger Stetigkeit keine positive untere Schranke haben, das Infimum dieser Menge muss also Null sein: . Zeigt man also, dass die eine Nullfolge bilden, dann hat man die gleichmäßige Stetigkeit widerlegt.


Verstehe ich das richtig ->
1)
2) Folge sodass
3) Da die Folge gegen 0 konvergert -> Nullfolge kann ich sagen, dass es ein Epsilon gibt für das gilt

Da verstehe ich nicht warum eine Nullfolge ist und vor allem wo der Zusammenhang mit ist :/
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

. Nimm und betrachte die Funktion an den Stellen , an denen sie ihr Maximum annimmt, also . Dann befinden sich für dieses die -Umgebungen von alle im positiven Bereich und die zugehörigen -Umgebungen von zwischen den beiden benachbarten Nullstellen von .

Es ist dann zu zeigen, dass die Differenz benachbarter Nullstellen von bei gegen 0 geht.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsdet2



Anders, wenn wir hier schon mit Quantoren um uns werfen:

epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
. Nimm und betrachte die Funktion an den Stellen , an denen sie ihr Maximum annimmt, also . Dann befinden sich für dieses die -Umgebungen von alle im positiven Bereich und die zugehörigen -Umgebungen von zwischen den beiden benachbarten Nullstellen von .

Es ist dann zu zeigen, dass die Differenz benachbarter Nullstellen von bei gegen 0 geht.


Welches benutzt du hier? Wie kommst du darauf, dass die -Umgebungen zwischen den beiden benachbarten Nullstellen von sind?
Tut mir leid, dass mir das einfach nicht klar wird...
Gibt es möglicherweise noch eine andere Herangehensweise?

Ich kann die einzelnen Bausteine einfach nicht zusammensetzen.
Ich kann mir irgendeine Folge wählen. Dann kann ich sagen welche Menge hat und was für eine Menge hat, weiß ich ja nicht (zumindest nicht wenn ich mit arbeite)

Mein Ziel ist es: Ein zu finden, sodass ich mir irgendein y nehmen kann und aus der Annahme nur auf schließen kann... stimmt das so?
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich dann so eine Folge habe, sodass ist das Maximum von
Das heißt dann könnte ich mir angucken und damit würde dann stimmen.
Daraus könnte ich folgern, dass es mindestens ein Epsilon gibt, sodass der Widerspruch zur gleichm. Stetigkeit stimmt.
Aber könnte man das dann nicht mit jeder x-beliebigen Funktion machen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wähle, wie schon oben geschrieben, und als Folge die . Für diese Folge ist . Wenn ich also jetzt ein suche, für das gilt, dann muss notwendigerweise gelten.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Ich wähle, wie schon oben geschrieben, und als Folge die . Für diese Folge ist . Wenn ich also jetzt ein suche, für das gilt, dann muss notwendigerweise gelten.


Das leuchtet mir ein! Ich nehme an damit wäre der Beweis dann auch vollbracht?
Ich hätte also auch jedes andere nehmen können oder?
Dann ist cos(x) auch nicht gleichmäßig stetig, stimmt das?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsdet2
Also wenn ich dann so eine Folge habe, sodass


Nein, eben gerade nicht so. Dann müsstest du ein anderes wählen. Den Rest schenke ich mir jetzt, da diese Art, den Beweis zu führen, unnötig kompliziert ist.

Zitat:


Aber könnte man das dann nicht mit jeder x-beliebigen Funktion machen?


Nein könnte man nicht. Wäre die Funktion beispielsweise periodisch und differenzierbar, dann würde der Beweis fehlschlagen, da diese Funktion gleichmäßig stetig wäre. Denn man müsste nur die Stetigkeit innerhalb einer Periode betrachten und die Differenzierbarkeit würde die Existenz eines minimalen für jedes garantieren.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsdet2

Das leuchtet mir ein!


Na, Gott sei Dank!

Zitat:

Ich nehme an damit wäre der Beweis dann auch vollbracht?


Nein, ist er leider noch nicht. Denn du musst noch zeigen, dass die eine Nullfolge bilden.

Zitat:

Ich hätte also auch jedes andere nehmen können oder?


Hättest du, aber man will sich das (Beweis-)Leben ja möglichst einfach machen und da ist eine gute Wahl.

Zitat:

Dann ist auch nicht gleichmäßig stetig, stimmt das?


Genau (mit der Korrektur), aber wie gesagt, der Beweis ist noch nicht fertig.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

OK! Ich habe das mit den Nullstellen jetzt verstanden.
Ich weiß dass
1)
2) da gelten muss

Jetzt weiß ich, dass gegen unendlich läuft.
Warum eine Nullfolge sein soll kapiere ich nicht.
Also das hängt von und ab und ich weiß dass und
Ich muss doch jetzt den genauen Zusammenhang von diesen drei Komponenten wissen oder etwa nicht?!
Wenn das so sein sollte, dann bin ich wieder genau am Anfang, denn ich habe einfach keine Ahnung mit welchen Schritte ich von auf kommen soll oder umgekehrt
Andernfalls kann ich ja gar keine Aussage darüber machen, wie und zueinander in Beziehung stehen

Da ich mir die Funktion mal geplottet habe, verstehe ich ungefähr worauf du hinaus möchtest. Der Weg dorthin ist mir jedoch völlig unverständlich.
Im unendlichen werden die Abstände von einer Amplitude zur anderen immer kürzer und das ist wohl mit der Nullfolge gemeint. Und selbst mit diesem Wissen, würde ich mal behaupten, dass man wissen muss wie sich zusammensetzt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

und die Folge ? Auf die kommt es an. Weise nach, dass



eine Nullfolge ist. [Bei liegen die zu benachbarten Nullstellen von ]
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, damit wäre noch eine Frage beseitigt!
Jetzt verstehe ich warum vorhin gewählt worden ist
Das heißt also:
Da ich weiß, dass ich nur y verwenden darf, sodass diese Ungleichung "<1" erfüllt ist, erstelle ich mir dieses "Delta-Intervall".
Das macht man aber nur, wenn man davon ausgeht, dass ich aus folgern kann, dass auch gelten muss oder? Demnach sind wir ja davon ausgegangen, dass die Aussage (die Funktion IST gleichmäßig stetig) stimmt. Dann wählt man sich eine Folge, sodass man mit der -Ungleichung auch auf die -Ungleichung kommt. Dann zeige ich, dass im Unendlichen die Folgen gegen 0 konvergieren und damit kann es dann kein y mehr aus der -Umgebung geben.
Womit ich gezeigt hätte, dass es für irgendwann kein y mehr gibt und damit wäre die Aussage widerlegt, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist...

Stimmt die Zusammenfassung so?
Danke für Deine Hilfe!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsdet2
und damit kann es dann kein y mehr aus der -Umgebung geben.
Womit ich gezeigt hätte, dass es für irgendwann kein y mehr gibt und damit wäre die Aussage widerlegt, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist...


Ich weiß zwar, was du meinst, das ist aber leider ziemlich fragwürdig formuliert. Bleib doch bei den und dass die für dein gewähltes jeden Wert > 0 unterschreiten müssen. Was ist denn mit dem Beweis, dass die eine Nullfolge bilden? Den hast du noch nicht präsentiert.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Nullfolge einfach mit Binom und dann ist es eine Teilfolge von 1/n und damit lim n -> oo ---> 0
Ich versuche gerade das mit dem unterschreiten nachzuvollziehen, habe aber verstanden, was an meiner Formulierung etwas fragwürdig war.

Zitat:
Original von RavenOnJ
Bleib doch bei den und dass die für dein gewähltes jeden Wert > 0 unterschreiten müssen.

Was meinst Du hiermit? Das mit den ist mir klar, warum müssen die jeden Wert unterschreiten?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist ähnlich zu der überaus beliebten Aufgabe, zu zeigen, dass eine Nullfolge ist.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »



ob das jetzt kleiner gleich ist ... bin ich mir nicht sicher aber hier wird schon klar, dass es eine Nullfolge ist.
Das nur mal zur Vollständigkeit
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

die sind unnötig. Nullfolge zeigen reicht und fertig.

Es muss natürlich klar sein, dass bzw. das wäre noch zu zeigen.
epsdet2 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber aus kann man ja nicht folgern, dass da 0 bei rauskommt oder?
Mit dem verstehe ich glaube ich nicht so ganz.
Es ist doch quasi gemeint wobei M eine Menge ist und in diesem Fall ist das dann halt ein offenes Intervall oder?
Warum ist es einmal und einmal umgekehrt mit dem Minus?

Meine Überlegung dazu war ursprünglich:
Ich weiß, dass es maximal bis zu den benachbarten Nullstellen geht. Das heißt ich brauche ein y aus dem Intervall [linke Nullstelle, rechte Nullstelle] .... da würden dann die runden Klammern auch keinen Sinn mehr machen.
Das mit dem min(... , ....) ist eine Sache die auch in anderen Beispielaufgaben nie erklärt wird und in meinem Skript erst recht nicht. Wäre nett wenn Du mich darüber noch aufklären könntest!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

der Abstand zur linken und zur rechten Nullstelle. Man muss aber den kleineren Abstand wählen, damit auf alle Fälle . Deswegen das Minimum der Abstände von zu den Nullstellen.
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