Determinante

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baba2k Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Hallo zusammen,

ich bin mir nicht sicher wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen muss:
[attach]28246[/attach]

Meine Ideen:
(a)
Mh hier bin ich mir nicht sicher, wir haben eigentlich
nur die Sarrus Methode gelernt, oder Gauß in Zeilenform
bringen. Gibt es da einen Trick?

(b)






Hab ich da irgendwas falsch gemacht?

(c)
muss gelten oder?
D.h. sie ist invertierbar für ?


Vielen Dank!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
a) Die Regel von Sarrus ist für allgemeine Matrizen ziemlich kompliziert, aber hier durchaus anwendbar und lautet für eine (nxn)-Matrix



Es gibt hier nämlich nur 2(!) "Pfade", für welches obiges Produkt von 0 verschieden ist und für diese musst du dann nur noch das Vorzeichen der dazugehörigen Spaltenpermutation bestimmen...

b) Hier hast du den Faktor 2 irgendwo "verloren"...

c) Ist korrekt (da der oben verlorene Faktor 2 hierbei keine Rolle spielt!)...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

(a)
Leider war der Professor diese Woche nicht da.
Die "Aushilfe" hat genau die Formel an die Tafel geschrieben,
erklärt wurde es aber leider nicht. Es wurde leider
nur ein Beispiel für eine 3x3 Matrix angegeben und gesagt, das
es für nxn zu schwer wäre.
Jetzt hab ich garkeine Ahnung, wie ich hier am besten vorgehe.
Mit der Formel kann ich leider nicht ganz so viel anfangen...

(b)
Welchen Faktor 2 meinst du? Ich hatte die letzte Zeile durch
2 geteilt stimmt... weil es gerade so gut gepasst hat...
lieber so lassen?:




So wäre es richtig, oder wie meinst du das?

(c)
Das hast du recht, hier ist es egal für die pq-Formel...

Danke!

//EDIT: Ich seh grad bei Wolfram Alpha kommt das auch so raus: http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{2a%2C1%2C+-1}%2C+{a%2C+-a%2C+5}%2C+{2%2C+-4%2C+4}}%29
Super, dann "muss" ich nurnoch die (a) irgendwie hinbekommen.

//EDIT2: Muss bei (b) nicht gelten, da ich sons bei dem einen Faktor durch 0 teile, oder ist das egal?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
ad a) Versuch mal diese 2 Pfade zu finden, d.h., jene zwei Permutationen von {1,2,3,4,5} für welche



Kümmere dich zunächst nicht um das Vorzeichen , das können wir zum Schluss gemeinsam bestimmen, falls du damit Probleme hast, sondern versuch einmal diese 2 Spaltenpermutationen zu finden...

Der Anfang geht so: Du musst mit beginnen, da dies das einzige von 0 verschieden Element in der ersten Zeile ist, also muss sein, wenn das Produkt von 0 verschieden sein soll... Ähnlich hast du auch für nur die Möglichkeit usw. Insgesamt verbleiben, wie gesagt, nur 2 Möglichkeiten für die Permutation ... Ähnlichkeiten mit Sudoku sind dabei nicht zufällig... Augenzwinkern
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh misst, leider habe ich Sudoku noch nie gespielt smile

Ich weiß nicht ob ichs richtig verstanden habe:

















So?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von baba2k
So?

Ja genau, da aber und zwingend war und ja eine Permutation von {1,2,3,4,5} sein soll, kannst du diese Möglichkeiten 3 und 1 für die Bilder von 2,3 und 4 unter streichen... Was bleibt dann an Möglichkeiten übrig?

Edit: Und ja, schade, dass du Sudoku nicht kennst, denn das macht nicht nur Spaß, sondern würde dir hier echt helfen... Augenzwinkern
 
 
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Übrig bleibt:







Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig... Augenzwinkern

Da du aber für die 2. und 4.Zeile jedenfalls die Bilder 2 und 4 "aufbrauchst", wie muss dann zwingend aussehen? Und von welchen 2 Möglichkeiten für spreche ich also letztendlich?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, so? smile


Das wären dann die 2 Möglichkeiten?




Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Augenzwinkern

Damit sind wir also bei den beiden Permutationen

bzw.

angelangt, die allenfalls einen von 0 verschieden Beitrag leisten können... Bedenke bitte, dass es 5!, also 120 Permutationen gibt, womit dies also einen unglaublichen und seltenen Glücksfall darstellt...

Nun brauchen wir noch die Darstellungen dieser beiden Permutationen als Produkt elementfremder Zyklen... Weisst du, wie man das macht?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also die beiden Permutationen hab ich verstanden,
aber was eine Permutationen als Produkt elementfremder Zyklen ist,
weiß ich leider nicht smile

Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nehmen wir die erste Permutation, wo man die Abbildungsvorschrift auch so schreiben kann



Dafür schreibt man kurz



d.h., Fixpunkte wie 2 und 4 werden weggelassen und die restlichen "Zyklen" (hier also nur einer!) werden nebeneinander angeschrieben...

Kannst du das mal für das zweite machen?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, ich kanns versuchen:



Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nun kann ich dir auch veraten, wie man berechnet: Das ist einfach +1, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist, und -1, wenn diese Anzahl ungerade ist...

Ich hoffe, du kannst nun die Vorzeichen unserer zwei Permutationen bestimmen und damit nun auch in die Formel, welche ich oben für die Determinante von A angegeben habe, einsetzen... Das ist gewissermaßen die "verllgemeinerte" Regel von Sarrus (Name ist nur Erfindung von mir!)...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »






Aber wie rechne ich das jetzt aus? Weiß nicht so richtig wie ich das einsetzen soll...

//EDIT: WolframAlpha sagt mir das -4a-8 rauskommt, aber wie ich da jetzt hinkomme, weiß ich leider nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Vorzeichen unserer zwei stimmen noch, aber der Rest ist leider total falsch... unglücklich

Du musst jetzt die entsprechenden Matrixeinträge der Matrix A ausmultiplizieren, also z.B.

usw.

und das in die Formel



einfach nur einsetzen... Für hast du einfach die oben bestimmten 2 Möglichkeiten...

Also: Die zwei Permutation sagen dir die 2 Pfade, die du nehmen musst (denk an die Regel von Sarrus, wo es bis zu 6 Pfade gibt!) und das Vorzeichen der entsprechenden Produkte hast du ja oben schon richtig bestimmt (bei der Original-Regel von Sarrus sind 3 Vorzeichen positiv und drei negativ)...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, also so?



//EDIT: Irgendwas mache ich noch falsch...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht, warum du bisher alles mit Bravour erledigt hast, aber jetzt, wo es nur mehr ums bloße Einsetzen geht, dermaßen ins "Schwimmen" kommst... unglücklich

Nochmals du musst nur einsetzen, also für die erste Permutation



lautet der entsprechende Summand



Wie lautet also der zweite Summand in unserer Summe für die andere Permutation?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Versuch







Die elementfremden Zyklen werden also nur zur Bestimmung des Vorzeichens berechnet?

Aber irgendwie habe ich falsche Vorzeichen, habe ich es doch falsch herum gemacht?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte +1 bei gerade Anzahl der Zyklen und -1 bei ungerade, oder hast du das vertauscht? Oder steh ich mal wieder auf dem Schlauch?

Ja so "simple" Sachen sind meistens mein Problem...

So habe ich es gemacht:
(135) -> ein Zyklus -> ungerade -> -1
(135)(24) -> zwei Zyklen -> gerade -> +1

//EDIT du meinst sicherlich bei deiner Rechnung und nicht ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich fürchte, der Versuch dir diese "verallgemeinerte Regel von Sarrus" beizubringen, muss damit als gescheitert angesehen werden... Ich sage dir der Vollständigkeit halber noch, wie die zweite Permutation zu behandeln wäre, falls du in einer ruhigen Minute doch noch Zeit hast dir das Ganze gewissenhaft durchzulesen... In deinen letzten Postings war jedenfalls nichts Brauchbares mehr dabei... unglücklich

Hier das Ganze also nochmals für die zweite Permutation



deren Vorzeichen -1 ist... Warum? Weil die Anzahl der Zyklen mit gerader(!) Zyklenlänge (das ist hier nur (24) mit Länge 2, während es für die erste Permutation überhaupt keinen Zyklus mit gerader Länge gab!) 1 beträgt und somit ungerade ist...

Damit lautet der entsprechende Summand in unserer Summe



Beide Summanden zusammengenommen ergeben also dann -4(a+2) als Wert für die Determinante...

Schlaf am besten mal darüber, vielleicht kommt dir ja im Traum dann doch noch die Erleuchtung... Augenzwinkern Wink
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

aber mein einwand das es und nicht sein muss ist doch richtig oder nicht? smile

Dann hatte ich es doch im vorletzten Posting richtig, bis auf das Vorzeichen. Das hatte ich falsch verstanden, jetzt hab ichs aber kapiert smile

Ja ich werde nochmal in Ruhe drüber schlafen.

Ich denke auch nicht, dass sowas in der Klausur dran kommen wird.

Vielen Dank!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von baba2k
aber mein einwand das es und nicht sein muss ist doch richtig oder nicht? smile

Dann hatte ich es doch im vorletzten Posting richtig, bis auf das Vorzeichen. Das hatte ich falsch verstanden, jetzt hab ichs aber kapiert smile

Ja, dein Einwand war richtig *), und im Nachhinein eigentlich nur das Vorzeichen dann falsch... Also dann doch nicht so schlecht... Freude Gute Nacht!

*) Hab den Fehler oben rauseditiert, damit es übersichtlich bleibt...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank nochmal!

Gute Nacht!
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, bin alles nochmal durchgegangen und habe es jetzt verstanden, vielen Dank!

Ich habe aber nochmal eine kurze Frage zu b):

Muss bei (b) nicht gelten, da ich sons bei dem einen Faktor durch 0 teile, oder ist das egal?

Vielen Dank!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine Rechnung zu b) ist mir ohnehin sehr suspekt... Ich würde hier die Einträge oberhalb der Diagonalen zu Nullen machen, dafür benötigt man nie eine Division...
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ich habe es so wie wirs in der Hörsaalübung gerlernt haben gemacht.
Oben die Nulllen haben wir noch nie gemacht. Ich könnte es noch so machen,
das kein Faktor vorne vorkommt, aber er meinte in der Hörsaalübung, dass wirs
lieber so machen sollen, sonst haben wir Brüche in der Matrix. Es kommt ja (komischerweise)
das richtige raus. Wäre es denn richtig, wenn ich dazu schreibe ?
Das irritiert mich irgendwie ein wenig...

Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, du willst also partout eine obere Dreiecksmatrix draus machen, obwohl in der Angabe nur von einer Dreiecksmatrix die Rede ist... Und ich sage dir, wenn a=0 ist, dann geht das gar nicht, da ja dann an der Position (1,1) eine 0 steht und du daher die 2 an der Poasition (3,1) nicht "wegbringst"... Man kann aber, wie ich schon sagte, ohne Probleme eine untere Dreiecksmatrix draus machen und zwar



Und bei Matrixoperationen immer nur(!!!) die Zeile ändern, in der man eine 0 erzeugen will, die anderen Zeilen dürfen dabei nicht verändert werden, also hier z.B.



wenn die entsprechenden Zeilenvektoren von B sind...
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