Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

03.02.2013, 22:05

eintopf

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Moin moin,
ich habe folgende Aufgabe:
[attach]28252[/attach]
Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Kann mir wer vllt ein paar Schlagwörter oder Tipps geben?

04.02.2013, 00:20

Math1986

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RE: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
Der Kosinus ist definiert als
$\begin{eqnarray*} \cos \varphi = \frac{|x\cdot y|}{\|x\| \cdot \|y\|} \end{eqnarray*}$
Nun überleg dir mal, wie vor allem der Definitionsbereich des Kosinus aussieht, und wo genau bei obiger Definition die Cauchy-Schwarz-Ungleichung eingeht.

04.02.2013, 11:33

eintopf

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Ok, der Definitionsbereich vom Kosinus ist $\begin{eqnarray*} \times \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ( zumindestesn laut alggemeiner Definition).
Kann ich das so verstehen, das |x*y| eine R² meint, während ||x||*||y|| einen R³ darstellt? Nur dann Frag ich mich, wie man da nen Winkel bekommen soll. Das hört für mich eher so an, als ob zweimal Lichschutzfaktor 30 einen 60er ergibt verwirrt

Also nicht ganz logisch

04.02.2013, 13:22

Math1986

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Okay, ich meinte den Wertebereich des Kosinus, sorry.

Ich verstehe den Rest deiner Ausführungen nicht: [latex]\|x\|/latex] ist die Norm von x, also eine reelle Zahl. Was der Lichtschutzfaktor mit dem Winkel zu tun hat ist mir auch nicht klar.

04.02.2013, 13:50

eintopf

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Naja, ich hab in anderen Foren gelesen, dass es sich bei |x*y| um einen zweidimensionalen Raum handeön soll und bei ||x||*||y|| um einen dreidimesnsionalen. Da weiß ich aber nicht, wie man da was mit dem Winkel machen solll. Warum dann nicht beides in R³-Weise aufschreiben? Da streikt die Logik in meinem Kopf.

04.02.2013, 13:52

Math1986

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Zitat:

Original von eintopf
Naja, ich hab in anderen Foren gelesen, dass es sich bei |x*y| um einen zweidimensionalen Raum handeön soll und bei ||x||*||y|| um einen dreidimesnsionalen. Da weiß ich aber nicht, wie man da was mit dem Winkel machen solll. Warum dann nicht beides in R³-Weise aufschreiben? Da streikt die Logik in meinem Kopf.

Na, dann schau dir mal an, wie die Norm eines Vektors definiert ist. $\begin{eqnarray*} \|x\| \end{eqnarray*}$ bewzeichnet hier, wie bereits erwähnt, die Norm des n-dimensionalen Vektors x, also schau dir mal an wie diese definiert ist.

04.02.2013, 14:20

eintopf

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"Eine Norm ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ von einem Vektorraum V über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}_{+} \end{eqnarray*}$ ,..." Quelle Was ist denn bitte ein Körper? Muss ich erst die gesamte Mathematik verstanden haben, um diese Aufgabe lösen zu können? Vllt sollt ich dann lieber auf Lücke lernen unglücklich

Ich hab folgendes Gefunden: $\begin{eqnarray*} \cos(\phi ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |} = \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} }{\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2}\cdot \sqrt{b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2} } \end{eqnarray*}$
Hat zwar überall einen Betragsstrich weniger, aber sonst hats die selbe Form.

04.02.2013, 14:56

Math1986

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In diesem Falle betrachten wir als Körper erstmal die reellen Zahlen (die exakte Definition eines Körpers ist nicht so wichtig, wenn du nur mit den reellen Zahlen rechnest und Verallgemeinerungen auf die komplexen Zahlen erstmal außen vor lässt).

Was du da gefunden hast ist der Spezialfall im dreidimensionalen, oben im Zähler des Bruches steht das Skalarprodukt, im Nenner das Produkt der jeweiligen Normen (mit den "Betragsstrichen" aus dem eindimensionalen hat das erstmal gar nichts zu tun). Dass die Notationen eben von Literatur zu Literatur verschieden sind, daran musst du dich eben gewöhnen, und nicht krampfhaft an deiner gewohnten Darstellung festhalten.

Welche Werte kann der Kosinus nur annehmen?
Nun überleg dir mal, in welchem Falle Zähler und Nenner gleich sind, in Bezug auf den Winkel.

04.02.2013, 15:17

eintopf

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Na, der Kosinus schwankt immer zwischen -1 und 1.
Und die Fälle a und b oder a oder b = 0 kann man ausschließen.
Nenner und Zähler sind für mich immer gleich(steht ja auf beiden Seiten das selbe), daher könnte man eigentlich auch ein Gelichheitszeichen schreiben. Aber wenn das die Lösung sein soll, dann wäre das zu simpel, deswegen muss es doch noch einen gewaltigen Haken bei der Aufgabe geben.

04.02.2013, 15:24

Math1986

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Zitat:

Original von eintopf
Nenner und Zähler sind für mich immer gleich(steht ja auf beiden Seiten das selbe), daher könnte man eigentlich auch ein Gelichheitszeichen schreiben.

Da steht eben nicht das selbe!

Nochmals:
....oben im Zähler des Bruches steht das Skalarprodukt, im Nenner das Produkt der jeweiligen Normen

Irgendwo fehlen dir da, was diese Begriffe angeht, erhebliche Grundlagen unglücklich

Nachtrag: Bei betrachtung von

Zitat:

n: $\begin{eqnarray*} \cos(\phi ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |} = \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} }{\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2}\cdot \sqrt{b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2} } \end{eqnarray*}$

sollte es geradezu offensichtlich sein, dass Zähler und Nenner im Allgemeinen nicht gleich sind.

04.02.2013, 15:41

eintopf

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Ich bin eher verwirrt, dass es nur Erklärungen gibt, aber keine einzige Beispielaufgabe, die das so veranschaulicht, das man das Ergebnis auch mal "anfassen" kann. Ich bin halt kein Theoretiker traurig

Also ich hab das mal für nen R² ausgerechnet. Da bekomme ich, wenn ich für x=y setze, raus: 4x<=x4. Wenn ich davon die Graphen zeichen lasse, dann sieht man ganz deutlich, dass x<0 oder x>1.58 sein muss.
Gilt aber nur bei den gewählten Zahlen.
Das ganze kann man doch bestimmt auch noch mathematisch aufschreiben, oder bin ich immer noch komplett auf dem Holzweg?

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