Flächenberechnung von Dreieck in 3D-Raum

17.02.2007, 19:13

Rhoudi

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Flächenberechnung von Dreieck in 3D-Raum

Aufgabe: Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die drei Punkte S2, S3 und den Nullpunkt gebildet wird. Beschreiben Sie Ihren Lösungsweg.
(Quelle: Landesabitur 2007 Hessen, Beispielaufgaben "2005_m-GK_A 6")

$\begin{eqnarray*} S_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.02.2007, 19:16

PNK

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RE: Flächenberechnung von Dreieck in 3D-Raum
wo liegt genau das problem?

17.02.2007, 19:28

Rhoudi

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Das Problem liegt darin, dass ich nicht weiß wie ich de Fläche von dem Dreieck ausrechnen kann. Dann müsste man ja noch wissen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Ich kann die Frage, die ich oben geschrieben habe nicht beantworten.

17.02.2007, 19:42

riwe

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kreuzprodukt verwirrt

verwirrt

oder eine höhe berechnen
werner

17.02.2007, 19:42

uwe-b

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Du kannst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{S_3S_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{S_3O} \end{eqnarray*}$ einen rechten Winkel bilden. O ist Ursprung.

Dann musst du die Länge bestimmen und kannst die Fläche ausrechnen.

Edit: Man musst zeigen, dass das Skalarprodukt Null wird.

17.02.2007, 19:45

Rhoudi

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Könntest du das mit dem Skalarprodukt = 0 erklären?

Was ist das Kreuzprodukt?

PS: Ich hab das vor einem Jahr gemacht, deshalb hab ich das ganze vergessen. Wäre nett, wenn ihr es anschaulich und ganz konkret erklärt.

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17.02.2007, 19:49

uwe-b

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Also du musst die Vektoren $\begin{eqnarray*} S_3S_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3O \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} S_3S_2 = S_2 - S_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3O = O - S_3 \end{eqnarray*}$ .

Dann zeigst du, dass das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} S_3S_2 \cdot S_3O = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Def. des Skalarprodukts im $\begin{eqnarray*} IR^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{eqnarray*}$

17.02.2007, 20:00

Rhoudi

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Dies
$\begin{eqnarray*} S_3S_2 = S_2 - S_3 \end{eqnarray*}$

ergibt dies
$\begin{eqnarray*} S_3S_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

______________________

Dies
$\begin{eqnarray*} S_3O = O - S_3 \end{eqnarray*}$

ergibt dies
$\begin{eqnarray*} S_3S_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

______________________

Skalarprodukt ausrechnen
$\begin{eqnarray*} S_3S_2 \cdot S_3O = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das ist FALSCH
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Heißt das, dass das Dreieck nicht rechtwinklig ist?

17.02.2007, 20:03

uwe-b

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Dies ergibt aber Null:

$\begin{eqnarray*} S_3S_2 \cdot S_3O = (-1)(-1) + (1)(-1) = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$

17.02.2007, 20:08

Rhoudi

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Danke! das habe ich jetzt verstande.
Aber wie rechne ich jetzt die Fläche des Dreiecks aus? Eigentlich müsste Pythagoras doch klappen, oder?

17.02.2007, 20:12

uwe-b

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Also nun:

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} |S_3S_2| \cdot |S_3O| \end{eqnarray*}$ .

Wobei $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray*}$
(mit Pythagoras)

17.02.2007, 20:49

Rhoudi

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Die Lösung ist ca. 1,22, abr ich komme da nicht drauf.

Was ist an folgendem Rechenweg denn falsch?

Flächeninhalt vom Dreieck (Formel)
$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} |S_3S_2| \cdot |S_3O| \end{eqnarray*}$

Gegeben, bzw. schon ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} S_3S_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3S_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3S_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3S_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} |\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot | \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} * [(1*0)+ (1*1) + (1*1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} * [(0)+ (1) + (1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} * [2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = 1 \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt richtig? Meine Lösung oder die Vorgabe?
______________________

Hat jemand ne antwort?

Mod: Doppelpost zusammengefügt! Bitte keine Drängelposts!

Rhoudi: Sorry, passiert nicht noch mal.

17.02.2007, 23:41

mYthos

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Zitat:

Original von Rhoudi
...
$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} |\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot | \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Da ist ein ganz arger Fehler passiert, denn die Betragszeichen sind auf einmal verschwunden und du rechnest frisch fröhlich mit dem Skalarprodukt weiter ...

Ich bin mit dem Weg von uwe-b grundsätzlich nicht sehr glücklich, denn was macht er denn, wenn das Dreieck NICHT rechtwinkelig ist, was hier ja nur Zufall ist?

Warum wird eigentlich der Tipp Kreuzprodukt (= Vektorprodukt) nicht weiterverfolgt? Der halbe Betrag des Vektorproduktes ist nämlich gleich der gesuchten Dreiecksfläche!

Und es gibt sogar noch eine weitere recht praktische vektorielle Flächenformel für Dreiecke in R3, die mittels der Projektion bzw. des skalaren Produktes realisiert wird:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (a.b)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ sind die das Dreieck aufspannenden Vektoren.

mY+

18.02.2007, 13:43

Rhoudi

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Die Betragszeichen habe ich doch weggemacht, weil ich den gesamten Vektor nun positiv dastehen habe. Wenn dies nicht erlaubt ist, wie soll ich dann das ganze rechnen?

18.02.2007, 13:53

riwe

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um das geht es doch gar nicht, ABER:
$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \mid \cdot\mid\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \mid=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und der kleine unterschied macht´s wie so oft:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=1+1=2 \end{eqnarray*}$

werner

(nur zur info: variante 1 ist korrekt Big Laugh

Big Laugh

)

18.02.2007, 13:56

Rhoudi

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Heißt das, dass wenn ich zwei Vektoren (mit Betragsstrichen) multipliziere, dass ich dann die Summe der darin befindenden "Zahlen" addiere und daraus die Wurzel ziehe?

18.02.2007, 13:59

riwe

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wie es oben steht:
die summe der QUADRATE Big Laugh

Big Laugh

, so ist der betrag/ die norm/ die länge eines vektors definiert. kannst es dir ja mal mit pythagoras überlegen
also

$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{a²_1+a²_2+a²_3} \end{eqnarray*}$

edit: und du mußt gemäß der formel für die dreiecksfläche

$\begin{eqnarray*} A =\frac{1}{2}d_1\cdot d_2 \end{eqnarray*}$

die beiden strecken, die ja senkrecht aufeinander stehen, also seite und zugehörige höhe im dreieck sind, die beiden "zahlen" miteinander multiplizieren.

werner

18.02.2007, 14:07

Rhoudi

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Ihr seid die Besten! Danke an Werner, mYthos und an Uwe B., was Ihr hier leistet ist wirklich allererste Sahne. Es hat zwar ein wenig gedauert bis ich alles verstanden habe, aber ihr habt es nicht aufgegeben und durchgehalten. Mein Klassenkamerad und ich sind total begeister von diesem Matheboard. Bis bald!

PS: Ich habe noch einige Fragen Big Laugh

Big Laugh

, bei denen ihr mir sicherlich helfen werdet.
PSS: Schönen Sonntag noch.

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