Symmetrische Gruppen

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akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppen
Hallo, Leute
Ich untersuche gerade ein spezielles anderes Problem (hab inzwischen eingesehen, dass die Idee mit den transzendenten Kurven Schwachsinn war), nämlich abelsche Untergruppen in Symmetrischen Gruppen.
Bekanntlich sind alle symmetrischen Gruppen mit nicht abelsch.
Aber es ist möglich, abelsche Untergruppen zu konstruieren, indem man eine zyklische Gruppe zu einem Element der symmetrischen Gruppe erzeugt und dieses mit sich selbst verknüpft. Damit erhält man eine Untergruppe der Ordnung n.
Genauso ist es auch möglich, die Menge zu zerlegen, und die abelsche Untergruppe als Produkt der zyklischen Untergruppen von den symmetrischen Gruppen der einzelnen Teilmengen zu schreiben.
Ich untersuche die Fragestellung, ob jede abelsche Untergruppe einer symmetrischen Gruppe als Produkt einzelner disjunkter zyklischer Untergruppen von symmetrischen Gruppen geschrieben werden kann, oder selbst zyklisch ist. Ich habe den Verdacht, dass jede abelsche Untergruppe einer symmetrischen Gruppe diese Kriterien erfüllt, komme daran aber schlecht weiter, da ich es nicht beweisen kann.
Klar ist, dass jede Untergruppe folgende Kritierien zwangsläufig erfüllt:

1.: Ihre Ordnung ist Teiler von n! (Satz von Lagrange)
2.: Wenn die Untergruppe abelsch ist: Wenn die Untergruppe Elemente a mit Signum a = -1 enthält, dann ist die Anzahl der Elemente a mit Signum a = 1 gleich der Anzahl der Elemente mit Signum a = -1. Wenn es allerdings Untergruppen ausschließlich mit Elementen mit Signum a = 1 geben sollte, gibt es keine Elemente mit negativem Signum. (keine Sorge, ich bin mir schon bewusst, dass es nur zwei Werte annehmen kann)

Kann ich damit irgendwie durch weitergehende Überlegungen, die nicht den Rahmen des Unmöglichen sprengen, zeigen, dass jede abelsche Untergruppe einer symmetrischen Gruppe stets Produkt von disjunkten zyklischen Untergruppen von symmetrischen Untergruppen oder selbst zyklisch ist?
Wenn es möglich sein sollte, die Behauptung zu beweisen, ohne dass man die Grenzen der elementaren Gruppentheorie (gemeinsam mit ein paar weitergehenden Überlegungen) überschreiten muss, bitte ich um Tipps. Aber nur um Tipps, da ich selbst auf den Beweis kommen möchte!
Sollte es schwieriger sein, bitte ich um die Angabe von Literaturquellen, in denen man sich mit abelschen Untergruppen in symmetrischen Gruppen beschäftigt.

Gruß,
Carsten

P.S.: Entschuldigung übrigens nochmals wegen der schwachsinnigen Idee mit den transzendenten Kurven Hammer
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

endliche abelsche Gruppen kann man gut klassifizieren, jede laesst sich als direkte Summe von zyklischen Gruppen darstellen.

ausserdem wuerde ich mir die abelschen Untergruppen von S_n nochmal genauer anschauen,
entweder permutiert man ein paar Elemente im Kreis oder man macht das mehrmals, dann aber mit disjunkten Gruppenelementen. Also zB in S_5 die Untergruppe die aus zyklischen Permutationen der ersten 3 Elemente und aus zyklischen Permutationen der letzten beiden Elemente besteht. Frage, gibt es abelsche Untergruppen, die nicht so aussehen? Ich glaube nicht, und fuer den von mir beschriebenen Typ ist deine Aussage relativ trivial.
 
 
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist ja das Problem, an dem ich sitze. Ich möchte zeigen, dass es abelsche Untergruppen gibt, die nicht so aussehen, so hast du das Problem gut aufgefasst.

Ich bin inzwischen auf den Satz von Cayley gestoßen, der zwar aussagt, dass jede Gruppe ein entsprechendes Gegenstück als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe hat, aber dieser Satz widerspricht auch nicht wirklich meiner Vermutung.

Womöglich könnte ich hier mit kombinatorischen Mitteln weiter kommen?

Ich möchte jetzt nämlich erstmals ein Problem, das in meinen Möglichkeiten liegt, ernsthaft und konsequent behandeln, nicht wie die vorigen Probleme.
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