Potenzreihe

06.02.2013, 17:38

Patrick1990

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Potenzreihe

Hallo, habe hier noch eine Frage zu Potenzreihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\sqrt{k}} (x+2)^k \end{eqnarray*}$

Zunächst soll ich das offene Konvergenzintervall bestimmen.

Ich habe mir gedacht ich prüfe mit dem Quotientenkriterium, jedoch komme ich da nicht sehr weit mit.

Mein aktueller Stand ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} \frac{(x+2)^{k+1}k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)} (x+2)^k}=\lim_{k\to \infty} \frac{(x+2)^k(x+2)k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}(x+2)^k}=\lim_{k\to \infty} \frac{(x+2)k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}} \end{eqnarray*}$

07.02.2013, 08:32

Jello Biafra

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RE: Potenzreihe
Aha, jetzt steht da auch tatsächlich eine Potzenzreihe.
Den Konvergenzradius kannst Du hier recht bequem mittels Quot.-Krit. oder Cauchy-Hadamard berechnen. Die beiden Randwerte (ich nehme mal an es geht um Kgz auf R und nicht auf C) musst Du dann noch separat betrachten.

07.02.2013, 08:44

Patrick1990

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Ja, es geht um Konvergenz auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich jetzt die Randwerte bestimmen??Die muss ich ja zuerst bestimmen oer nicht? Dann einsetzen und mittels Quotientenkriterium ausrechnen.

Also war ja meine Herangehensweise erst einmal falsch oder?

07.02.2013, 08:51

klarsoweit

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RE: Potenzreihe

Zitat:

Original von Patrick1990
Zunächst soll ich das offene Konvergenzintervall bestimmen.

Was hast du denn jetzt dazu raus?

07.02.2013, 08:53

Jello Biafra

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Um die Randwerte des Konvergenzintervalls zu ermitteln brauchst Du zunächst einmal den Konvergenzradius R.

Ist x_0 der Entwicklungspunkt, dann sind x_0+R und x_0-R die Randwerte.
Simples Einsetzen dieser Werte liefert zwei Reihen, welche Du dann einer ganz gewöhnlichen Konvergenzbetrachtung unterziehen kannst.

07.02.2013, 09:32

Patrick1990

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Wie komme ich jetzt auf den Konvergenzradius? Etwa mit dem Weg, den ich oben aufgeführt habe?

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07.02.2013, 09:58

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Du hast doch das Quotientenkriterium angewendet. Was sagt dieses nun zur Konvergenz aus?

Übrigens solltest du daran denken, daß du den Betrag von dem Bruch nehmen mußt.

07.02.2013, 10:00

Jello Biafra

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Nicht gerade motivierend wenn Beiträge nicht gelesen oder schlicht ignoriert werden. Finger2

Finger2

Die Antwort auf diese Frage findest Du in meinem Beitrag von 08:32 heute Morgen.

07.02.2013, 10:02

Patrick1990

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Also ich kann in meinem Weg noch nicht erkennen, ob es konvergiert oder divergiert unglücklich

unglücklich

. Kann man das jetzt schon sehen? Oder muss ich weiter vereinfachen? wenn ja, wie?
Okay danke, habe ich nicht dran gedacht, aber ist hier auch nicht notwendig mit dem Betrag oder?

07.02.2013, 10:07

Patrick1990

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Zitat:

Original von Jello Biafra
Nicht gerade motivierend wenn Beiträge nicht gelesen oder schlicht ignoriert werden. Finger2

Finger2

Die Antwort auf diese Frage findest Du in meinem Beitrag von 08:32 heute Morgen.

Ich habe deinen Beitrag gelesen, habe doch auch das Quotientenkriterium angewandt. Jedoch komme ich nicht weiter bzw. erkenne noch keine Divergenz oder Konvergenz.

Ich habe deinen Beitrag schon gelesen und auch nicht ignoriert.

07.02.2013, 10:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Patrick1990
habe doch auch das Quotientenkriterium angewandt. Jedoch komme ich nicht weiter bzw. erkenne noch keine Divergenz oder Konvergenz.

Na ja, du bist auf halbem Weg stehen geblieben, nämlich hier:

Zitat:

Original von Patrick1990
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} \frac{(x+2)k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}} \end{eqnarray*}$

2 Fragen:
1. Warum rechnest du den Grenzwert nicht aus?
2. Was steht in der Quotientenkriterium-Regel? Was sagt es zur Konvergenz einer Reihe aus?

07.02.2013, 10:46

Patrick1990

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Ja, ich bin dort stehen geblieben, weil ich nicht weiß, wie ich weiter vereinfachen kann.

Die Regel besagt:

Ist

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1 \end{eqnarray*}$ , so ist die Reihe konvergent.

Ist

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\geq 1 \end{eqnarray*}$ , so ist die Reihe divergent.

07.02.2013, 11:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Patrick1990
Die Regel besagt:

Ist

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1 \end{eqnarray*}$ , so ist die Reihe konvergent.

Das ist schon ungenau. Die Regel besagt:

Wenn es ein q gibt mit 0 < q < 1 und ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \leq q \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0, dann ist die Reihe konvergent.

So. Jetzt mußt du schauen, für welche x die Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \leq q \end{eqnarray*}$ mit q < 1 erfüllt ist. Dazu bildet man praktischerweise den Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \end{eqnarray*}$ , den du trotz wiederholter Aufforderung immer noch nicht bestimmt hast.

07.02.2013, 11:10

Patrick1990

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Zitat:

Original von Patrick1990
Ja, ich bin dort stehen geblieben, weil ich nicht weiß, wie ich weiter vereinfachen kann.

Ich weiß nicht, ob du es gelesen hast. Ich weiß nicht, oder mir fehlt der Funke, um den Grenzwert zu bestimmen.
Wie gehe ich denn da weiter vor? Meinen jetzigen Standpunkt habe ich ja dort geschrieben.

07.02.2013, 11:18

klarsoweit

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RE: Potenzreihe
Also erstmal Betragsstriche setzen und die Erkenntnis auswerten, daß das |(x+2)| nichts mit dem k zu tun hat und mithin als konstanter Faktor vor den Limes geschrieben kann. Da bleibt als Teilaufgabe nur noch die Bestimmung von:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} |\frac{k \sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}}| \end{eqnarray*}$

Durch k kürzen und ein bißchen Wurzelrechung führt uns zu:

$\begin{eqnarray*} ... = \lim_{k\to \infty} |\frac{1}{(1 + 1/k) \cdot \sqrt{(1+ 1/k)}}| \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollte der Grenzwertbildung nichts mehr im Wege stehen.

Das ist alles kein Hexenwerk und wurde mit Sicherheit in ähnlicherweise auch mal auf der Schule gelernt.

07.02.2013, 11:46

Patrick1990

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Man kommt ja jetzt darauf, dass der Grenzwert 1 ist. Oder habe ich mich vertan? $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ sind Nullfolgen.

07.02.2013, 12:34

klarsoweit

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RE: Potenzreihe
Richtig. Insgesamt haben wir also, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty}| \frac{(x+2)k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}}| = |x+2| \end{eqnarray*}$ ist.

So, jetzt kannst du überlegen, für welche x die Bedingung des Quotientenkriterium erfüllt wird.

07.02.2013, 13:41

Patrick1990

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Für x < -1 ist das Quotientenkriterium erfüllt, da dann |x+2| kleiner 1 ist.

07.02.2013, 13:43

klarsoweit

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Wirklich? Und was ist mit x = -10 ?

07.02.2013, 13:46

Patrick1990

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Ach es ist ja der Betrag unglücklich

unglücklich

.

Also ist es unmöglich kleiner als 1 zu sein?

07.02.2013, 13:48

Karamuto

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x ist aber eine reelle Zahl :O

07.02.2013, 13:52

Patrick1990

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Jetzt hatte ich nen Denkfehler. Also nocheinmal... $\begin{eqnarray*} -2<x<-1 \end{eqnarray*}$ ist es jetzt ok?

07.02.2013, 13:59

klarsoweit

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Mit -3 < x < -1 wäre ich einverstanden. smile

smile

Jetzt mußt du dir noch die Ränder dieses Intervalls ansehen. Sprich: welches Konvergenzverhalten hat die Reihe an den Randstellen?

07.02.2013, 14:03

Patrick1990

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Ich auch

smile

Sorry. Heut klappt es irgendwie überhaupt nicht. Das ist also nun sozusagen das offene Konvergenzintervall.
Ich muss nun -3 und -1 jeweils für x einsetzen und wieder nach dem Kriterium auf Konvergenz prüfen?

07.02.2013, 14:13

klarsoweit

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Ja, aber nicht mit dem Quotientenkriterium, denn das liefert für die Randstellen keine Aussage.

07.02.2013, 14:15

Patrick1990

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Achse okay also eher das Wurzelkriterium? Oder Was schlägst du vor??

Nochmal eine andere Frage, wäre der Konvergenzradius dann um unserem Beispiel 0,5?

07.02.2013, 14:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Patrick1990
Achse okay also eher das Wurzelkriterium? Oder Was schlägst du vor??

Du kannst es ja damit mal versuchen. smile

smile

Prinzipiell würde ich aber erstmal die Reihen hinschreiben. Vielleicht fällt ja etwas ins Auge.

Zitat:

Original von Patrick1990
Nochmal eine andere Frage, wäre der Konvergenzradius dann um unserem Beispiel 0,5?

Nein. Der Konvergenzradius ist die halbe Intervalllänge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2013, 14:37

Patrick1990

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Okay ich werde es mal versuchen.

Ah, also Radius ist 1. smile

smile

07.02.2013, 14:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Patrick1990
Ah, also Radius ist 1. smile

smile

Ja.

Freude

08.02.2013, 17:52

Patrick1990

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Also ich habe jetzt das Verhalten an den Randstellen untersucht.

Für -3 habe ich das Leibnitz-Kriterium verwendet, darf man ja doch hier, da es eine alternierende Reihe ist, oder?

Für -1 habe ich eingesetzt und gesehen, sie konvergiert. Muss ich dies noch extra prüfen?

09.02.2013, 11:03

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Patrick1990
Muss ich dies noch extra prüfen?

Die Antwort auf diese Frage wurde innerhalb dieses Threads schon gegeben:

Zitat:

Um die Randwerte des Konvergenzintervalls zu ermitteln brauchst Du zunächst einmal den Konvergenzradius R.

Ist x_0 der Entwicklungspunkt, dann sind x_0+R und x_0-R die Randwerte.
Simples Einsetzen dieser Werte liefert zwei Reihen, welche Du dann einer ganz gewöhnlichen Konvergenzbetrachtung unterziehen kannst.

09.02.2013, 21:08

Studi92

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RE: Potenzreihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig. Insgesamt haben wir also, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty}| \frac{(x+2)k\sqrt{k}}{(k+1)\sqrt{(k+1)}}| = |x+2| \end{eqnarray*}$ ist.

So, jetzt kannst du überlegen, für welche x die Bedingung des Quotientenkriterium erfüllt wird.

Bedeutet die 1 bei der Ermittlung des Grenzwertes jetzt sozusagen, dass man $\begin{eqnarray*} 1*|x+2| \end{eqnarray*}$ hat oder wie kann man das verstehen? Bei einer normalen Betrachtung wäre ja bei einem Grenzwert von 1 keine Aussage über Konvergenz zu treffen möglich oder?
verwirrt

verwirrt

Entschuldigt die Nachfrage!

10.02.2013, 11:02

Patrick1990

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Du musst schauen für welche x die Konvergenzbedingung erfüllt wird.

$\begin{eqnarray*} |x+2| =1 \end{eqnarray*}$

Hier ist dies erfüllt bei $\begin{eqnarray*} -3<x<-1 \end{eqnarray*}$

10.02.2013, 11:10

Studi92

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Ok jetzt habe ich es auch verstanden. Prost

Prost

Danke!

10.02.2013, 11:12

Che Netzer

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Zitat:

Original von Patrick1990
$\begin{eqnarray*} |x+2| =1 \end{eqnarray*}$

Nur damit das nicht missverstanden wird: Es sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} \lvert x+2\rvert<1 \end{eqnarray*}$ heißen.

10.02.2013, 11:14

Patrick1990

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Ja, genau, das meinte ich mit Konvergenzbedingung. Also das es <1 sein muss.

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