Unterschied zwischen Rang einer Matrix und Dimension?

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Sam1000 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied zwischen Rang einer Matrix und Dimension?
Meine Frage:
Hallo,
ich habe jetzt schon in vielen Forenbeiträgen, Wikpediaartikeln etc. gelesen aber so richtig schlau werde ich aus all den gefundenen Sachen nicht.
Und zwar möchte ich genau wissen wo denn eigentlich der Unterschied zwischen dem Rang einer Matrix und der Dimension einer Matrix liegt?

Ich habe einige Beispiele, da ist immer d=r. Ich gehe schwer davon aus, dass das d für die Dimension und r für den Rang steht.

Kann man also grundsätzlich sagen, dass der Rang und die Dimension gleich groß sind?

Meine Ideen:
Die konkrete Aufgabe mit der Musterlösung habe ich im Anhang als 2 Bilder.

Ich kann nur leider mit der konkreten Lösung nicht so viel anfangen und verstehe damit auch nicht 100 Prozentig womit in der Lösung denn jetzt eigentlich die Dimension gemeint ist. Echt mit d?
Samy1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin der Fragesteller Ich hab vorher leider nicht den Button gefunden um mich im Forum anzumelden. Jetzt kann ich meinen Beitrag leider nicht mehr editieren.

Allerdings möchte ich noch anmerken, dass nach meinem Wissensstand die Dimension die Anzahl der Vektoren ist, die nötig ist um den Vektorraum aufzuspannen. Also die Anzahl der Vektoren der Basis.

Hingegen ist nach meiner Def. der Rang einer Matrix die Anzahl der Nicht-Nullzeilen nach dem Anwenden von Gauss.

Aber wirklich weiter bringen mich die Definitionen in Bezug auf meine Frage leider nicht. Eher sorgen Sie noch für zusätzliche Verwirrung :/
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Unterschied ist relativ einfach:
Den Rang einer Matrix gibt es.
Die "Dimension einer Matrix" gibt es nicht.
Wie du richtig schreibst ist die Dimensions die Anzahl der Vektoren einer Basis eine Vektorraums.

Wenn man eine Matrix aus einer Menge von Vektoren bildet so gilt aber:
Der Rang der Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist gleich der Dimension des von den Vektoren aufgespannten Unterraums.
Samy1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Der Rang der Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist gleich der Dimension des von den Vektoren aufgespannten Unterraums.


Ist der Rang der Matrix nicht die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen? Vektoren wären für mich die einzelnen Spalten.

Und das bedeutet also, dass der Rang der Matrix = Dimension des aufgespannten Unterraums ist?
Und das ist immer der Fall? Verstehe ich das richtig?
Samy1000 Auf diesen Beitrag antworten »

PS (editieren geht leider nicht mehr): ich habe auch gelernt,d ass eine Basis aus erzeugenden, linear unabhängigen Vektoren besteht.
Also müsse gelten r = n = k mit r =Rang der Matrix (Nicht-Nullzeilen), n: Anzahl der Zeilen und k = Anzahl der Vektoren (Spalten).

Aber in den Lösungen der Aufgabe (siehe Bilder im 1. Beitrag) ist ja z.B. auch mal der Fall, dass der Rang 1 ist aber es 3 Zeilen und 3 Spalten gibt. Wie kann es sich denn dann um eine Basis handeln?

Meine Vermutung ist, dass man die Nullzeilen dafür einfach streichen kann und auch die Spalten (bis auf eine), die je ihr Pivot in der gleichen Zeile haben. (ich hoffe das ist verständlich).
Dann würde glaube ich auch wieder die Formel mit r = n = k erfüllt sein.
Ist das richtig?
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