Basis von System linearer Gleichung

07.02.2013, 23:14

Hefler

Basis von System linearer Gleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich sitze hier vor einer Aufgabe bei der ich einfach nicht weiterkomme..
W ist Teilmenge von R4 und es gilt Ax = 0 für W, wobei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2& 3 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Es ist eine Basis für W zu finden, und zusätzlich muss man einen Untervektorraum finden, wobei U+W (Plus in einem Kreis -> disjunkt?) = R4 gilt..

Meine Ideen:
Ich erhalte mit Spaltenumformungen einen Rang von 2, also sind 2 Vektoren linear unabhängig. 2 Vektoren aus meinen 4 bilden also eine Basis. Ich wähle somit B = z.B. (2,1) und (2,3). Stimmen meine Überlegungen bis hierhin? Bei der zweiten Teilaufgabe muss ich nun U finden, wobei dim U + dim W = 4. Sehe ich das richtig dass beide Unterräume Dimension 2 haben?
Vielen vielen Dank für eure Hilfe.
LG

10.02.2013, 09:54

Colorado

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RE: Basis von System linearer Gleichung
$\begin{eqnarray*} W\subseteq\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Ax=0\ \ \ \forall x\in W \end{eqnarray*}$ ist der Kern von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also ein linearer Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

Und der hat auch eine Basis. Aber die muss Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ enthalten, und nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Schau mal, wie willst du mit $\begin{eqnarray*} (2\ 1)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2\ 1)^T \end{eqnarray*}$ eine Teilraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ aufspannen?

10.02.2013, 12:05

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
Hey Colorado. Vielen Dank für deine Antwort!
Aber mit dieser Abbildungsmatrix komme ich ja nur auf Bildvektoren mit 2 Komponenten. Oder wären bei der Matrix unten noch 2 Nullzeilen die nicht geschrieben wurden? dann wäre die Basis (2, 1, 0, 0) und (1, 1, 0, 0)? Sorry ich bilcke da noch nicht ganz durch. smile

10.02.2013, 12:15

RavenOnJ

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RE: Basis von System linearer Gleichung
$\begin{eqnarray*} Aw = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2& 3 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten. Da man nur zwei Gleichungen hat, sind zwei Parameter frei. Das Ergebnis wird also sein

$\begin{eqnarray*} w = a_1 x_1 + a_2 x_2, w\in W= ker(A) \end{eqnarray*}$ mit zwei 4-dimensionalen Basisvektoren $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in W\subset\mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , wobei beide Basisvektoren die Gleichungen $\begin{eqnarray*} Ax_i = 0, i\in\{1,2\} \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Ein allgemeiner Vektor $\begin{align*} y\in\mathbb{R}^4 \end{align*}$ ist Summe eines Vektors aus dem Kern und eines dazu orthogonalen Vektor aus $\begin{align*} U=W_\perp \end{align*}$ . $\begin{align*} \mathbb{R}^4 = W\oplus U \end{align*}$ . Das Bild von $\begin{align*} A \end{align*}$ , $\begin{align*} img(A) \end{align*}$ ist $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , da der Kern 2-dimensional ist.

Edit: Ich war vorher bei $\begin{align*} 4\times 4 \end{align*}$ -Matrizen, deswegen der Fehler.

10.02.2013, 12:35

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RE: Basis von System linearer Gleichung
U=img(A) wäre ein Unterraum von R^2

10.02.2013, 12:57

Colorado

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RE: Basis von System linearer Gleichung
Genau! Es wurde nämlich was mit dem Dimensionssatz vermischt. Es gilt nämlich: $\begin{eqnarray*} dim(\mathbb R^4)=dim\ ker(A)+dim\ img(A) \end{eqnarray*}$ .

Aber es gibt tatsächlich einen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ der gefunden werden soll. Dieser wird von einer $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ komplementären Basis aufgespannt.

10.02.2013, 13:13

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
ah alles klar.. Habe nun die 2 Basisvektoren (1, -4, 1, 0) und (-3, 3, 0, 1) erhalten! 1000 Dank!
Noch eine Frage zum 2. Teil. Um den Kern herauszufinden setzt man ja Ax = 0. Und das hab ich ja oben schon gemacht, darum ist W = Kern. Und du sagst nun das Bild sei eben dieser Unterraum U. Sehe ich das richtig, dass wenn ich aus der Matrix in der Aufgabenstellung nach Spaltenumformungen alle "Nicht-Null-Spalten" herauslesen kann, und der Span daraus dann dem Bild entspricht?

10.02.2013, 13:26

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_2 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_1 & b_3 & b_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_2 & a_0 & a_0 & a_0 \\ b_1 & b_0.5 & b_0 & b_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also somit <(2,1,0,0) und (0, 0.5, 0, 0)>

10.02.2013, 13:28

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
sorry, so müsste es aussehen smile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also somit <(2,1,0,0) und (0, 0.5, 0, 0)>

10.02.2013, 13:43

Colorado

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RE: Basis von System linearer Gleichung

Zitat:

Und du sagst nun das Bild sei eben dieser Unterraum U

Das Bild ist i.A. eben nicht dieser Unterraum. Da hat sich der Kollege vertan. Du musst zwei zusätzliche Vektoren finden, die nicht in $\begin{eqnarray*} ker(A) \end{eqnarray*}$ liegen, sodass du mit den vier Vektoren, die du dann hast den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ aufspannen kannst.

10.02.2013, 13:55

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
OK, dann nehme ich einfach mal die 2 Vektoren (1, 0, 0, 0) und (0, 1, 0, 0). Diese zusammen mit meinen Vektoren (1, -4, 1, 0) und (-3, 3, 0, 1) sind linear unabhängig. Also ist Ker A = <(1, -4, 1, 0) , (-3, 3, 0, 1)> und Im A = <(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)>. Hoffe das stimmt so.. smile

Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe!

10.02.2013, 14:03

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RE: Basis von System linearer Gleichung
Im A = <(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)> muss falsch sein, weil Im A in R^2 liegt, dein angegebener Unterraum aber in R^4.

U = <(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0)> ist richtig.

10.02.2013, 14:27

Hefler

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RE: Basis von System linearer Gleichung
Sorry, habe ich verwechselt.. ich hatte irgendwie im Kopf dass die Dimension des Bildes = der Dimension des Lösungsraums ist.

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