Eigenvekor

08.02.2013, 03:35

Säckel

Eigenvekor

Hallo alle! Wink

Es gibt da etwas das mich verunsichert. Ich bestimme momentan Eigenvektoren von
3x3 Matrizen und anschließend kontrolliere ich sie auf dieser Website:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

ich weiß ja, dass ich Werte teilweise bestimmen kann und z..B

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 999 \\ 0 \\ 999 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

theoretisch genau der selbe Eigenvekor ist!

Aber ich habe es so oft gerechnet aber bekomme trotzdem fast immer was anderes raus wie auf der Website, ich hoffe meine Ergebnisse können trotzdem richtig sein, obwohl sie sich etwas deutlicher unterscheiden als ich oben aufgezeigt habe!

Ich geb mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda \times E) = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 4-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} =[(2-\lambda )^{2}-1]\times (4-\lambda ) \end{eqnarray*}$

Soweit alles ganz easy!

Ich soll die Eigenwerte und EINEN Eigenvektor bestimmen

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{3}=1 \end{eqnarray*}$

Ich habe mich für $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=4 \end{eqnarray*}$
entschieden und erhalte:

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda \times E)\times (x_{1}) =\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt wird es kniffelig, denn es scheint ja unendlich viele Eigenvektor-Möglichkeiten zu geben!

$\begin{eqnarray*} -2x_{1} +1x_{3} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x_{1} -2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

jetzt kommt meine eigentliche Frage erst:

Gibt es irgend eine Regel die mir sagt wie ich x_{1} bestimmen soll? Muss ich für x_{2} null wählen, weil es ja in "weg" fällt in den Termen?

Ich wähle z.B $\begin{eqnarray*} x_{1}=1 \end{eqnarray*}$
und erhalte $\begin{eqnarray*} x_{3}=2 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ nehme ich einfach mal die 0,
könnte aber theoretisch auch pi oder sonstwas nehmen?!

Mein Ergebnis ist: $\begin{eqnarray*} v_{e}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Internet (auf der Website) steht:

zum Eigenwert 4:
[ 0 ; 1 ; 0 ]

Was stimmt denn? verwirrt

Danke für alle die sich Zeit für mein kleines/großes Problem haben
Der Thread ist wohl doch länger geworden als ich dachte, die Frage ist ja, so denke ich, relativ schnell zu beantworten Augenzwinkern

08.02.2013, 03:46

Solomon123

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Hallo,
ich kann dir diese Aufgabe leider nur mit Lienaerer Algebra beantworten (weil ich in Analysis wirklich schlecht bin). Kann dir jedoch mit sicherheit sagen, das der Vektor [0;1;0] richtig ist. Ich weiß auch nicht wieso dein Vektor deine zweite Gleichung 1*X_1 - 2*X_3 = 0 lösen sollte?

Die Gleichung ist nur für X_1 = X_3 = 0 lösbar. X_2 ist dabei beliebig, also alle Vielfachen von 1.

08.02.2013, 03:54

Säckel

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Danke für deine Antwort. Gut schon mal zu wissen dass (0/1/0) eine richtige Lösung ist. Ich würde ja auch drauf kommen, wenn ich die variablen wie folgt bestimme:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$

Dann komme ich genau auf (0/1/0)

Jetzt muss mir nur noch jemand sagen, ob mir irgend eine Regel vorschreiben kann welche Werte ich bestimmen muss/darf Hammer

08.02.2013, 04:02

Säckel

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Zitat:

Original von Solomon123

Die Gleichung ist nur für X_1 = X_3 = 0 lösbar. X_2 ist dabei beliebig, also alle Vielfachen von 1.

Dann müsste das bedeuten, dass x2 alles sein kann außer null und dass
ich mir einen Wert für x1 ausdenken darf.. wähle ich 0 dann komme ich auf das selbe Ergebnis!

würde ich für x2 also 20 nehmen und für x1 den Wert 5 , dann wäre meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} v_{e} \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ob das auch richtig ist verwirrt

08.02.2013, 04:02

Solomon123

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Wieso wählst du für X_1 = 10? Erfüllt das deine Oberen Gleichungen?
Deine ausgesuchten werte erfüllen jeweils nur die 1. Gleichung aber nicht beide. Rechne bitte nochmal nach. Beide Gleichungen werden nur für X_1 = X_3 = 0 erfüllt.

08.02.2013, 04:04

Säckel

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Ja aber die Gleichung heißt ja

$\begin{eqnarray*} -2x_{1} +x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

Wieso muss ich jetzt unbedingt für x1 null einsetzen?

08.02.2013, 04:05

Solomon123

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Weil deine Werte BEIDE gleichungen erfüllen müssen. Nicht nur eine

08.02.2013, 04:13

Säckel

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Zitat:

Original von Solomon123
Wieso wählst du für X_1 = 10? Erfüllt das deine Oberen Gleichungen?
Deine ausgesuchten werte erfüllen jeweils nur die 1. Gleichung aber nicht beide. Rechne bitte nochmal nach. Beide Gleichungen werden nur für X_1 = X_3 = 0 erfüllt.

Stimmt!

Und sorry, hab deine Nachricht erst gelesen nachdem ich wieder geschrieben hatte!

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} -2x_{1} +x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} x_{1} -2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x_{1} +x_{3} = x_{1} -2x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x_{1} +3x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{3} \end{eqnarray*}$

so jetzt kann ich aber für x1 einsetzen was ich will und x3 ist das selbe oder?

ist dann der Einheitsvektor (1/1/1) auch eine richtige Lösung?

08.02.2013, 04:22

Solomon123

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Hallo,
wie gesagt, in Analysis bin ich wirklich schlecht. Aber da ich wohl der einzige bin der um die Uhrzeit anwesend ist versuche ich dir mit meinem bisschen Wissen zu helfen. Der Vektor [1;1;1] ist jedoch keine richtige lösung. Ich glaube nicht, dass du das so einfach umformen kannst.
Vielleicht müsstest du bei deiner umformung schreiben $\begin{eqnarray*} 2x_{1}%20+x_{3}%20=%20x_{1}%20-2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ Falls diese umformung überhaupt geht.

Wie gesagt kann ich dein Problem nur aus Sicht der Linearen Algebra betrachten. Dafür kann ich dir aber sicher sagen, dass dein Vektor nicht stimmt und x_1 und X_3 = 0 sein müssen.

Du kannst dir ja mal den Vektor [0;1;0] vorstellen. Die Lösungen deines Problemes müssen alle auf der Gerade liegen die durch [0;0;0] und [0;1;0] geht. Dein Vektor [1;1;1] liegt allerdings nicht dort drauf.

Setz doch mal für X_1 = X_3 = 1 ein. Löst das deine erste Gleichung?

08.02.2013, 04:28

Säckel

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Okay! Ich verstehe wie du meinst.

klingt irgendwie auch logisch mit
$\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe Freude

dir kann ich bei deiner Problemstellung aber leider nicht Helfen, da verstehe ich nur Bahnhof.

Villeicht kann mir trotzdem jemand verraten ob andere Lösungsmengen richtig sind wenn ich den Term umstelle:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Danke =)

08.02.2013, 04:50

Säckel

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Das verwirrt mich alles viel zu sehr. Denn zum Eigenwert 1 hätte ich die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit wäre nach dem mir bis jetzt bekannten Regeln:

$\begin{eqnarray*} 3x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Würde ich hier nun nach der selben Regel rechnen
und einfach sagen x1=0 x2=0

dann wäre meine Lösungsmenge: (0/0/0)

Die Website sagt mir (-1/0/1) ist die richtige Lösung.

D.h ich müsste die Variablen wie Folgt bestimmen:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber doch frei bin meine Variablen zu bestimmen, dann ist Folgendes hoffentlich auch richtig:
(verkehrt herum)

$\begin{eqnarray*} x_{1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{e} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.02.2013, 05:01

Solomon123

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Deine Gleichung stimmt so nicht.
Deine Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{1}=-x_{3} \end{eqnarray*}$

nun kannst du $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, musst aber $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ demensprechend wählen. wie du siehst erhälst du wieder alle vielfachen des vektors [1;0;-1] also natürlich auch -1*[1;0;-1] was nichts anderes als [-1;0;1] ist. Du musst aber nur einen Eigenvektor angeben.

08.02.2013, 05:18

Säckel

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Ok dann hab ichs jetzt gecheckt! Big Laugh

In diesem Fall kann ich wählen, weil ich ja nur eine Gleichung zu erfüllen habe

im anderen fall wäre es dann so:

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} -2x_{1} +x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} x_{1} -2x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} x_{3} =2x_{1} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich x3 in die zweite Gleichung ein und erhalte nur eine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_{1} -4x_{1} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} =0 \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} 0 +x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

Kein Wunder dass im Abi Zeugnis bei mathe nur 5 Punkte stand! LOL Hammer

Vielen vielen Dank =)

stimmt doch so?

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