Matrixpotenz

08.02.2013, 17:07

A=E

Matrixpotenz

Meine Frage:
Hallo zusammen

Man soll eine Matrix A potenzieren,so daß die Einheitsmatrix oder ein Vielfaches davon herauskommt
A soll aber nicht die Einheitsmatrix oder ein Vielfaches davon sein

Folgende Bedingungen

$\begin{eqnarray*} A\in\mathbb Z^{n\times n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{m} =kE;m,k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Für m=0 und m=1 ist die Sache klar
Für m=2 findet man auch Beispiele

Aber bei m>2 wird`s schon schwer
besonders,wenn man noch will,daß n möglichst klein sein soll und vielleicht sogar noch daß k=1 ist

Was meint Ihr?
Gibt es für jedes m eine Lösung?
Wird dann für wachsendes m n immer größer?
Welche m gibt es für n=2?

Gruß

Meine Ideen:
Meine Idee ist eigentlich die Aufgabe
die habe ich mir nämlich selbst überlegt

08.02.2013, 18:25

Colorado

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixpotenz
Setze m=n und

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ E_{m-1} & 0 \end{pmatrix}\in \mathbb Z^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} A^m=E_m \end{eqnarray*}$ .

08.02.2013, 21:03

A=E

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal

Leider verstehe ich aber nicht was gemeint ist
Vieleicht sollte ich sagen,daß ich nicht studiere
ich schaue mir nur so mal die ein oder andere Aufgabe an

gilt vielleicht?

$\begin{eqnarray*} E_{m}=\begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber dann wäre ja der Eintrag bei A eine Matrix $\begin{eqnarray*} E_{m-1} \end{eqnarray*}$

Gruß

08.02.2013, 22:14

Colorado

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Einträge einer Matrix wieder Matrizen sind, handelt es sich um eine sogenannte Blockmatrix. Und es ist nichts anderes als eine Matrix, die sich aus mehreren Untermatrizen (Blöcke genannt) zusammensetzt.

Z.B.

Seien
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 5\\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann können wir daraus die Blockmatrix

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} A\\ \hline C \end{matrix} \left| \begin{matrix} B\\ \hline D \end{matrix} \right)\right.=\left( \begin{matrix} \begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\\ \hline \begin{matrix}7&8\end{matrix} \end{matrix} \left| \begin{matrix} \begin{matrix}5\\6\end{matrix}\\ \hline 9 \end{matrix} \right)\right.=\begin{pmatrix}1&2&5\\3&4&6\\7&8&9\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

bilden.

In meiner Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ E_{m-1} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

sind die Nullen Nullmatrizen mit $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb R^{1\times (m-1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb R^{(m-1)\times 1} \end{eqnarray*}$ .
Die Eins ist eine Matrix mit nur einem einzigen Eintrag, nämlich 1.
mit $\begin{eqnarray*} E_{m-1} \end{eqnarray*}$ bezeichne ich die Einheitsmatrix, die m-1 Zeilen tief und m-1 Spalten breit ist, also:

$\begin{eqnarray*} E_{m-1}=\begin{pmatrix}1& &0\\ &\ddots& \\0& &1\end{pmatrix}\in \mathbb R^{(m-1)\times (m-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ ist damit die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_m \end{eqnarray*}$ .

08.02.2013, 22:51

A=E

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah sehr gut
Das ist mir jetzt klar

Kann man sagen,daß es bei einer 2 mal 2 Matrix für m>2 keine Lösung gibt?
wenn man mal von den zyklischen Wiederholungen absieht
$\begin{eqnarray*} wenn \ A^{2} =E \ dann \ gilt \ auch \ A^{2n} =E \end{eqnarray*}$

und dann würde mich noch interessieren
wie das bei einer 5 mal 5 Matrix aussieht
hier könnte man dann folgende Lösungen finden

$\begin{eqnarray*} A^{2} = E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{3} = E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{4} = E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{5} = E \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Viele Grüße

09.02.2013, 00:34

Colorado

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kann man sagen,daß es bei einer 2 mal 2 Matrix für m>2 keine Lösung gibt?

Das kann man allerdings sagen. Aber, um dir zu zeigen warum, müsstest du schon die Jordan-Normalform kennen. Das führt jetzt viel zu weit.

Zitat:

und dann würde mich noch interessieren wie das bei einer 5 mal 5 Matrix aussieht hier könnte man dann folgende Lösungen finden $\begin{eqnarray*} A^{2} = E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^{3} = E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^{4} = E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^{5} = E \end{eqnarray*}$ Stimmt das?

Ja, das stimmt! Nimm einfach die Einheitsmatrix und ersetze den oberen linken Bereich durch eine entsprechend große Untermatrix, die so wie mein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von vorhin aufgebat ist. (Im Klartext: du bildest eine Blockmatrix, die oben links wieder eine Blockmatrix enthält)

09.02.2013, 11:19

A=E

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Von der Jordan-Normalform hab ich schon etwas Ahnung
Ich weiß auch, daß man mit
$\begin{eqnarray*} A^{n}=S J^{n} S^{-1} \end{eqnarray*}$
rechnen kann

Aber durch deine Hinweise bin ich weitergekommen,so daß ich jetzt wieder allein probieren kann

Viele Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Matrixpotenz

Verwandte Themen