Extremwertaufgabe: Günstigste Strecke finden

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Evoh Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Günstigste Strecke finden
Meine Frage:
Hallo ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und ich finde meinen Fehler nicht :
Ein Ort A hat von einem geradlinig verlaufenden Kanal den Abstand von 20 km. Es sei B der Fußpunkt des Lotes von A zum Kanal. Der Kanal führt zur Hafenstadt C, die 70 km von B entfernt ist. Wo muss der Hafen H am Kanal gebaut werden, damit die Frachtkosten von C nach A minimal sind, wenn die Kosten für die Wasserfracht 80% der Kosten für die Landfracht ausmachen? Eine Skizze ist im Anhang

Meine Ideen:
U = Kosten
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = == c =
ZF: U = + 70 - a * 0,8

U = + 70 - 0,8a

U = - 0,8a + 70

U = - 0,8a + 70 // die - 0,8a + 70 sind keine Potenz

U' = * (2a - 140) -0,8

U' = * (2a - 140) -0,8

U' =

0 = | *
0 = 2a - 140,8

70,4 = a ---> unreal da a + b = 70 ist
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung der Differentialrechnung
Zitat:
ZF: U = + 70 - a * 0,8


Du rechnest zweimal 70 - a, niemals mit a.
Das kann nicht stimmen.

Ich würde übrigens b unter Wurzel schreiben und 70 - b für |HC| verwenden.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Hey...
danke für deine Antwort
über den Weg mit b komme ich auch auf das richtige Ergebniss, jedoch möchte ich auch gerne über a an das Ergebnis kommen.

HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = == c =
ZF: U = + 70 - a * 0,8

aber hier müsste doch 70 - a in die Wurzel, da ich b ersetze oder nicht?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung müsste so lauten:



Unter der Wurzel stehen die Kosten für |AH|, dahinter die Kosten für |HC|.

Ich kann dir aber nur nochmals sehr ans Herz legen, b² statt des Binoms unter die Wurzel zu schreiben und für |HC| (70 - b) einzusetzen. Die weitere Rechnung wird dadurch wesentlich vereinfacht.

Dabei darf keinesfalls auf die Klammer verzichtet werden, so wie du es getan hast.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Das unter dre Wurzel ist doch |HC| oder nicht, da errechne ich doch die Hypotenuse (c) und das addiere ich dann mit |AH| also nur a. Und das scheint mein Fehler zu sein ich versuche mal das durchzurechen.

U = Kosten
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a // Wie lautet denn dann die Nebenbedingung?
NB: 20 = == c =
ZF: U = + a * 0,8

U = + a) * 0,8
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst den Pythagoras für die Strecke AH = c mit c² = 20² + b².

Die Strecke HC = a kannst du direkt als 70 - b darstellen.

smile
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das mit der Klammer missverstanden. Die gehört um (70 - b)*0,8.

Da du dich aber für a als Variable entschieden hast, brauchst du keine Klammer: a*0,8 kann so stehen.

Zitat:
Original von Evoh
U = + a) * 0,8


Weiterhin muss das a² unter der Wurzel addiert werden, nicht subtrahiert.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer - und - ergibt puls Hammer
aber danke ich versuchs dann jetzt mal kurz nochmal
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist es eher - mal - smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich mache die Kettenregel falsch... oder ist da noch ein Fehler?
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = == c =
ZF: U = + a * 0,8

U = + 0,8a

U = + 0,8a

U = + 0,8a

U' = * (2a - 140) + 0,8

U' = * (2a - 140) + 0,8

U' =

0 = | *
0 = 2a - 140,8
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
U' = * (2a - 140) + 0,8

Das z soll ja wohl die Wurzel sein, das ist ok. Freude

Zitat:
U' =

Wo ist die Wurzel geblieben?
Wie kannst du die 0,8 ohne Nennergleichheit auf den Bruch bringen?

Ich habe deinen Weg nicht durchgerechnet, wie gesagt, er ist erheblich umständlicher als mein Vorschlag mit b.
Dort komme ich auf eine eindeutige Lösung und die Rechnung ist nicht so kompliziert.

Die Sache ist nämlich die: Du brauchst einen negativen Term, weil du die Ableitung ja Null setzt, um a auszurechnen.
Der einzige negative Term steckt in der Wurzel im Nenner*. Du wirst also umformen müssen.

Schön wird das nicht. Aber leider willst du ja unbedingt mit a rechnen... verwirrt

* edit: Nein, im Zähler ist ja auch eine Differenz, habe ich glatt übersehen.
Ich rechne gerade mal deine Version durch.
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

U' = + 0,8
so hatte ich auch so auf dem Papier Freude

ich habe jetzt schon einmal einwenig umgestellt nur ich bekomm die Wurzel nicht weg...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Freude

Ich würde jetzt die Gleichung Null setzen und die 0,8 auf die andere Seite bringen.

Dann kannst du dir überlegen, was du mit der Wurzel machst. Augenzwinkern


Ich bin jetzt deinen Weg zu Ende gegangen und auf das gleiche Ergebnis wie auf meinem Weg gekommen.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir sieht die Formel so aus:
-0,8 = |

-0,8 = 2a - 140

-1,6 * = 2a - 140

-0,8 * = a - 70

soo jetzt bin ich mir unsicher... unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit quadrieren? smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

0 =
soweit richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da ist dir leider ein Fehler unterlaufen.

Die 1,64a² habe ich gar nicht gehabt, die -89,6a schon, aber nicht gleichzeitig mit den 1508, die bei mir auch positiv sind.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

meine Rechnung:



| 0,36
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst beim Quadrieren von (a-70) an die 2. binom. Formel denken. smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »





sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Freude

Hier sollte man eine Klammer schreiben, die du dir aber gedacht hattest und dann auch entsprechend multipliziert hast:



smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »



jetzt könnte man doch Wurzel ziehen oder P-Q oder nicht?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du die quadratische Gleichung löst, überlasse ich dir, es gibt mehrere Möglichkeiten.

Ich habe die obere Gleichung für die pq-Formel genommen.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »



--> nicht möglich da a + b = 70
---> das wäre das Ergebniss

a = 43,33
b = 26,67
c = 50,88



U' = + 0,8

U'(43,43) =
U'(43,23) =

U''(43,33) > 0 => rel . Min



soo fertig hoffe ich Big Laugh danke für deine Hilfe, auch wenn es einen leichteren Weg gab. Kann man das schon vorher erkennen, welcher Weg einfacher ist?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal: Ja, ist richtig, die Strecke HC ist 43,333 km lang. |AC| wird dann 33,333 km lang werden.

Du hast dir ja wirklich viel Mühe mit dem Aufschreiben gegeben. Freude

Als Tipp würde ich sagen, dass der Ausdruck unter der Wurzel möglichst einfach sein sollte.

Ich hatte als Gleichung:





Abgeleitet:


Man sieht, dass alles etwas einfacher ist. Augenzwinkern

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
|AC| wird dann 33,333 km lang werden.


70 - 43,333 = ? Teufel

Ok! Freude Ich wollte halt nur mal beide Wege berechne.
Aber ich habe die 2. Ableitung richtig oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Evoh
Zitat:
Original von sulo
|AC| wird dann 33,333 km lang werden.


70 - 43,333 = ? Teufel


Tippfehler, |AC| ist ja die gesamte Strecke |AH| + |HC|

Ich meinte natürlich |AH|.


Zitat:
Original von Evoh
Aber ich habe die 2. Ableitung richtig oder?


Die habe ich jetzt nicht nachgerechnet. Es ist aber klar, dass die 0,8 wegfallen müssen.

Weiterhin hätte ich auf jeden Fall ein wenig gekürzt:

Ich werde später nachrechnen, jetzt muss ich erst mal afk.

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt hätte ich auch sehen können geschockt
Aber vielen dank jetzt habe ich das Thema auch richtig verstanden.
smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre nett, wenn du mir dann schreibst, ob die 2. Ableitung richtig ist Gott
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die zweite Ableitung ja nicht aufgeschrieben. Augenzwinkern

Es gilt aber:

U''(43,33) ~ 0,0108, also > 0 Freude

smile
Evoh Auf diesen Beitrag antworten »

U'(43,43) =
U'(43,23) =

U''(43,33) > 0 => rel . Min

Den Wert für 43,33 kann man ja nur schätzen der liegt ja zwischen - 0,00112 bis 0,00256
Aber mein Ergebnis ist dann ja richtig Tanzen
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann die zweite Ableitung schon bilden und 43,3333 einsetzen. Augenzwinkern

Aber dein Ergebnis ist schon richtig. Freude
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