[Stoch1] Maße und Dichtefunktionen, Ungleichung mit Integral und Supremum

10.02.2013, 11:04

nore

[Stoch1] Maße und Dichtefunktionen, Ungleichung mit Integral und Supremum

Hallo,

mir ist leider kein passenderer Titel eingefallen. Sorry dafür schonmal.

Habe folgendes Problem:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{A}, \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray*} \nu, \nu_1, \nu_2, ... \end{eqnarray*}$ Maße mit Dichten $\begin{eqnarray*} g, g_1, g_2, ... \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \int g_n d\mu = \int g d\mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} (g_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall konvergent gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sup_{A\in\mathfrak{A}} |\nu_n(A)-\nu(A)|\leq\int_\Omega |g_n-g|d\mu \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0 \end{eqnarray*}$

Meine Gedanken:

1)
a) Die rechte Seite, also dass das Integral gegen Null geht, lässt sich vielleicht dadurch zeigen, dass die Folge der $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ fast-sicher konvergiert. Das heißt ja, dass die Folge auf einer Menge von vollem $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Maß konvergiert. Dann ist nurnoch zu zeigen, dass das Integral gegen null geht, wenn der Integrand gegen null geht. Hört sich einfach an, aber mir fällt es schwer, das ganze auf die Definition des Integrals runterzubrechen:

b) Zunächst mal betrachten wir nur $\begin{eqnarray*} g, g_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für aufsteigene Folgen von Elementarfunktionen $\begin{eqnarray*} g_{n,i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{0,i} \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergieren: $\begin{eqnarray*} \sup_{i}\int g_{n,i} d\mu=\int g_n d\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup_{i}\int g_{0,i} d\mu=\int g d\mu \end{eqnarray*}$ . Ich vermute, ich muss diese Funktionenfolgen geschickt wählen und dann steht das Ergebnis fast schon da. :-) Aber ich komme nicht darauf, wie.

2)
a) Zur linken Seite, also der eigentlichen Ungleichung, fällt mir leider nicht so viel ein. Das Supremum soll $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ sein, also können wir auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \forall A\in\mathfrak{A}: |\nu_n(A)-\nu(A)|\leq \int_\Omega |g_n-g|d\mu \end{eqnarray*}$ . Also zwei Maße unterscheiden sich auf keiner Menge um mehr als das Integral über den Betrag der Differenz ihrer Dichten. Anscheinend bin ich hier einfach noch zu unsicher damit, was Dichte und Maß so miteinander zu tun haben.

b) Was mir aber hier aufgefallen ist: Wieso werden die Dichten überhaupt über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ integriert? Und wieso bzgl $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ? Und wieso haben Maße eine Dichte?
Also muss ich die Maße hier als Zufallsvariablen mit Werten in $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ sehen? Aber dann wären die Dichten immerhin auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ und nicht auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert... Bin verwirrt.

Vielen Dank für eure Hilfe im Vorraus.

Grüße
David

10.02.2013, 21:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von nore
Wieso werden die Dichten überhaupt über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ integriert? Und wieso bzgl $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ? Und wieso haben Maße eine Dichte?

Ziemlich merkwürdige Fragen, die man eigentlich nur stellen kann, wenn man den Begriff "Dichte" in allgemeinen Maßräumen nicht kennt - höchste Zeit, das nachzuholen, denn diese Basiskenntnisse benötigt man schließlich für deine Aufgabe:

Radon-Nikodym-Dichte .

11.02.2013, 17:04

nore

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Hi,

danke für den Link. Jetzt wird mir die Sache etwas klarer. Also kann ich schonmal weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} \sup_{A\in\mathfrak{A}}|\nu_n(A)-\nu(A)|=\sup_{A\in\mathfrak{A}}|\int_Ag_nd\mu-\int_Agd\mu| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sup_{A\in\mathfrak{A}}|\int_A(g_n -g) d\mu|\leq^* \sup_{A\in\mathfrak{A}}\int_A|g_n -g| d\mu\leq^{**}\int_\Omega|g_n-g|d\mu \end{eqnarray*}$

* Bin mir nicht sicher, ob ich das benutzen darf. Aber ich glaube, dass es stimmt. Und ich glaube, das auch zeigen zu können.
** Das begründe ich damit, dass $\begin{eqnarray*} |g_n-g| \end{eqnarray*}$ überall nichtnegativ ist und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ monoton, also $\begin{eqnarray*} \mu(A)\leq\mu(B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Meint ihr, das ist zu ungenau?

Was ich weiterhin nicht hinkriege ist der Grenzübergang, also 1) aus meinem ersten Beitrag.

Viele Grüße
David

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