Isomorphie zeigen Ring der Brüche und Z

10.02.2013, 15:00

joaena

Isomorphie zeigen Ring der Brüche und Z

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich knobel an folgender Aufgabe und komme einfach nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} S:= \left\{ 3^{k} : k \in \mathbb N_{0} \right\} \subseteq \mathbb Z. \end{eqnarray*}$ Finde ein Polynom $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ derart, dass die Ringe $\begin{eqnarray*} S^{-1}\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X]/(f) \end{eqnarray*}$ isomorph sind.

Ich wäre über einen Hinweis sehr dankbar.}

Meine Ideen:
Generell bin ich auf der Suche nach einem Homomorphismus von $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb Z [X] \to S^{-1}Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} kern(\phi) = {f} \end{eqnarray*}$ um mit dem Homomorphiesatz die Behauptung folgern zu können.

Ich habe mir schon überlegt jedes Polynom auf die Summe seiner Koeffizienten abzubilden und diese durch die Summe der Koeffizienten von f zuteilen, für ein f, dessen Summe eine Potenz von 3 darstellt und somit ein Element von S ist.
Das wäre dann aber keine homomorphe Funktion.
Auch über den höchsten Grad habe ich keinen guten Ansatz gefunden.

Freue mich über Antworten.
Liebe Grüße,
Joäna

10.02.2013, 15:28

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Erklär mal bitte, was du hier mit $\begin{align*} S^{-1} \end{align*}$ meinst, das wäre nach meinem Verständnis das "Inverse" einer Menge (was auch immer das sein soll), da $\begin{align*} S \end{align*}$ eine Menge ist.

10.02.2013, 15:32

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
die fragestellerin meint mit S^(-1) natürlich alle brüche der form 1/(3^k), das ist klar.
Ansonsten finde ich die aufgabe sehr interessant, habe bisher keine lösung gefunden.
gruss ollie3

10.02.2013, 15:34

joaena

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau.

$\begin{eqnarray*} S^{-1}\mathbb Z \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Ring der Brüche versehen mit den üblichen Verknüpfungen für Brüche.

10.02.2013, 15:36

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ollie3
die fragestellerin meint mit S^(-1) natürlich alle brüche der form 1/(3^k), das ist klar.

Ob das klar ist, wage ich zu bezweifeln. Aber deine Vermutung wurde ja bestätigt.

10.02.2013, 15:45

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
und natürlich muss das gesuchte polynom was mit 3 zu tun haben. Geht da schon f(x)=3x, oder
ist das zu einfach? Wäre dann Z[X]/ (3x) die gesuchte menge?
gruss ollie3

10.02.2013, 23:31

experte

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} S^{-1}R \end{eqnarray*}$ ist eine gängige Schreibweise für die Lokalisierung von R von S.

Eine weitere gängige Schreibweise hier wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{(3)} \end{eqnarray*}$ .

@ollie3: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X]/(3X) =\mathbb Z[X]/(X)\cong \mathbb Z \end{eqnarray*}$
man braucht hier ein Polynom so, dass X=1/3

10.02.2013, 23:54

experte

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von experte
@ollie3: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X]/(3X) =\mathbb Z[X]/(X)\cong \mathbb Z \end{eqnarray*}$
man braucht hier ein Polynom so, dass X=1/3

Da hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen, die ganzen Zahlen sind ja kein Körper, die erste Gleichung ist Mumpitz.

Neuer Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X]/(3X) \end{eqnarray*}$ hat Nullteiler, der gesuchte Ring ist ein Int.ring.

11.02.2013, 06:23

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
@experte: ja, das ist richtig.
Neuer versuch: würde es mit Z[X]/(3X+1) funktionieren?
gruss ollie3

11.02.2013, 08:21

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ollie3

Neuer versuch: würde es mit Z[X]/(3X+1) funktionieren?

heiteres Polynome-Raten. Ich werf mal $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X]/(3X-1) \end{eqnarray*}$ in die Runde. Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Isomorphie zeigen Ring der Brüche und Z

Verwandte Themen