Newtonverfahren und Vergleich von Nachkommastellen

11.02.2013, 02:41

HeaD87

Newtonverfahren und Vergleich von Nachkommastellen

Hallo Leute,

wir (mein Studiengang und ich) schreiben am Dienstag unsere Klausur in Numerik und dabei ist immer wieder eine Teilaufgabe da gewesen, die niemand von uns beantworten konnte.
Nämlich folgende:

Auf wie viele Stellen stimmt x4 beim Newtonverfahren dann mit x-Dach überein, wenn
Sie auf beliebig viele Stellen rechnen könnten. Begründen Sie ihre Antwort mit den
bisher erzielten Ergebnissen, ohne x4 explizit zu berechnen.

Bei der Aufgabe vorher musste man x-Dach bestimmen, indem man zwei Newtonschritte machen sollte.

Weiß wer von euch, wie man da ran gehen muss? Wäre wirklich klasse, wenn jemand helfen könnte!

Grüße

HeaD

edit von sulo: Habe den Zusatz " [wichtig!]" aus dem Titel entfernt. Alle Anfragen hier sind gleich wichtig, keine ist wichtiger als andere!

11.02.2013, 08:53

lgrizu

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RE: Newtonverfahren und Vergleich von Nachkommastellen [wichtig!]
Du kannst mit Hilfe der Taylordarstellung den Fehler abschätzen.

Ich denke einmal $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ ist die Annäherung an die Nullstelle und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ ist die Nullstelle selbst? verwirrt

11.02.2013, 10:24

HeaD87

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Danke für deine Antwort.
Hab in der Frage nicht genau definiert, was uns Prof mit den zwei Werten meint, sorry. Also das $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ soll bei uns das Ergebnis des zweiten Newtonschrittes sein und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ einfach das Ergebnis des vierten Newtonschrittes.
Taylordarstellung hatten wir bis jetzt nie behandelt unglücklich

Hier mal der Aufgabentext der vorherigen Teilaufgabe:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ erneut mit dem Newton-Verfahren näherungsweise, in dem Sie das
Iterationsproblem ein Nullstellenproblem umschreiben.
(Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = 0.7, zwei Newtonschritte, auf 6 Nachkommastellen runden). [ $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =
0, 695985, $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ = 0, 695986]
Die Funktion ist dabei f(x)=1-0,5*arctan(x)

Das Ergebnis meiner Frage soll laut Script 40 sein.
Vielleicht wird die Frage dadurch etwas klarer.

Grüße

HeaD

11.02.2013, 13:03

lgrizu

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Zitat:

Original von HeaD87

Die Funktion ist dabei f(x)=1-0,5*arctan(x)

Sicher, dass das die richitge Funktion ist verwirrt

Der arctan hat den Wertebereich $\begin{eqnarray*} \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \arctan (x)< \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} arctan(x)< \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

und entsrechend $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} arctan(x)>-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} arctan(x)+1>-\frac{\pi}{4}+1>0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist also stets positiv, da wird amn schwer eine Nullstelle mit Newton finden...

Dieser Teil:

Zitat:

Original von HeaD87

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ erneut mit dem Newton-Verfahren näherungsweise, in dem Sie das
Iterationsproblem ein Nullstellenproblem umschreiben.

lässt darauf schließen, dass es gar nicht um die Nullstellenbestimmung geht....

Geht es vielleicht um Fixpunkte? verwirrt

Dann würde der Wert auf jeden Fall hinkommen.....

Vielleicht stellst du die Aufgabe ja mal im ganzen genau so, wei du sie bekommen hast.

11.02.2013, 15:20

HeaD87

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Hm...also die Aufgabenstellung hab ich 1zu1 aus der Angabe hier rein kopiert.

11.02.2013, 15:52

lgrizu

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Zitat:

Original von HeaD87

Hier mal der Aufgabentext der vorherigen Teilaufgabe:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ erneut mit dem Newton-Verfahren näherungsweise, in dem Sie das
Iterationsproblem ein Nullstellenproblem umschreiben.
(Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = 0.7, zwei Newtonschritte, auf 6 Nachkommastellen runden). [ $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =
0, 695985, $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ = 0, 695986]
Die Funktion ist dabei f(x)=1-0,5*arctan(x)

Hier steht, dass es sich lediglich um eine Teilaufgabe handelt. Und das Problem soll umgeschrieben werden in ein Nullstellenproblem.

Welches Problem soll umgeschrieben werden?

Anhand des Ergebnisses würde ich sagen, dass die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie die Fixpunkte der Funktion (zuerst mit Banachschem Fixpunktsatz?)

Aber es kann ja nicht sein, dass man zuerst einmal fünf Postst lang raten muss, was eigentlich zu tun ist und auf mehrfache Anfrag keine konkrete Antwort bekommt.

Das ganze macht so wirklich keinen Spaß.

Wenn du Hilfe haben möchtest gewöhne dir an, die Aufgabe vollständig und richtig zu posten.

Alles weitere ist gesagt,.......

11.02.2013, 20:44

HeaD87

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Die vorherigen Teilaufgaben haben mit den Newtonverfahren Teilaufgaben nichts zu tun.
Es fängt an, dass man die Funktion 1-0,5*arctan(x) hat und man 4 Iterationsschritte mit $\begin{eqnarray*} x_0=0,7 \end{eqnarray*}$ machen muss. Dann muss man beweisen, dass die Iteration im Intervall [3/5;1] kontrahierend ist und welche Konvergenzordnung es hat. Zuletzt muss man einmal die apriori-Abschätzung und dann die aposteriori-Abschätzung machen.

Dann fängt es mit dem Newtonverfahren an und man soll darüber $\begin{eqnarray*} \widehat{x} \end{eqnarray*}$ neu bestimmen und die besagten zwei Schritte durchführen.
Ich wüsste nicht, was man von den vorherigen Teilaufgaben beim Newtonverfahren benötigen könnte. Einzig die Funktion die man verwenden soll ist gleich.

Vom Banachschem Fixpunktsatz haben wir leider noch nichts gehört.

11.02.2013, 20:55

lgrizu

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4 Iterationsschritte mit welchem Verfahren? Und was soll bestimmt werden?

Also ehrlich gesagt wird mir das ganze echt nen bisschen blöd.

Nullstellen hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1-\frac{1}{2} \cdot \arctan (x) \end{eqnarray*}$ keine (siehe Argumentation in dem letzten Post), ergo: Keine Nullstellenbestimmung mit dem Newtonverfahren.

Aber: Einen Fixpunkt hat sie ziemlich dicht an 0,7, also noch einmal: Was soll bestimmt werden?

Und wenn jetzt keine vernünftige Antwort kommt bin ich wirklich weg.....

11.02.2013, 22:02

HeaD87

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$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ ist für die Iteration Angegeben bei der ersten Teilaufgabe am Anfang, sonst nichts. Dachte, dass man darunter die Standarditeration versteht. Mehr kann ich jetzt nichtmehr zu der Aufgabe sagen, da es keine noch so kleine Information mehr gibt, die dazu gehört.
Die Aufgabe, auf die sich meine Frage bezieht, steht halt exakt so in der Angabe und hatte es auch einfach nur heraus kopiert.

Bin halt selbst nicht wirklich eine Leuchte in Numerik, da es nur ein kleines Nebenfach bei uns Darstellt, bei dem wir nicht sehr tief in die Materie eintauchen.

11.02.2013, 23:21

lgrizu

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Okay, das ist die Iterartion nach Banach und damit bestimmt man Fixpunkte (und keine Nullstellen).

Du hast also die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} g(x)=1- \frac{1}{2} \cdot \arctan (x)-x \end{eqnarray*}$ bestimmt mit Newton, denn diese Nullstellen sind genau die Fixpunkte der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1- \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) \end{eqnarray*}$

Wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ einmal die Annäherung, die nach i Iterationsschritten herauskommt.

Es soll nun bestimmt werden $\begin{eqnarray*} |x_2-x_4| \end{eqnarray*}$ , sehe ich das richtig?

11.02.2013, 23:44

HeaD87

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Die Iteration nach Banach hab ich jetzt zum ersten mal gehört ;D
Ja, müsste so passen deine Annahme.

12.02.2013, 10:16

lgrizu

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Okay, weiter geht es, wie bereits geschrieben mit Taylor (sorry, aber eine andere Möglichkeit sehe ich auf die schnelle nicht, ohne das explizit zu berechnen).

Das Taylorpolynom ist:

$\begin{eqnarray*} T(x)=f(x_0)+f'(x_0) \cdot (x-x_0)+R(x) \end{eqnarray*}$ wobei das Restglied $\begin{eqnarray*} R(x)=\frac{f''( \epsilon)}{2} \cdot (x-x_0)^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Das kann man so umstellen, dass man auf der einen Seite den Newton Operator hat.

12.02.2013, 11:42

HeaD87

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Ok, alles klar, dass probier ich mal. Danke sehr für deine Hilfe! Freude

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