Eigenwert und Eigenvektor

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18.02.2007, 12:50	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenvektor Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Sei V der Z/3Z-Vektorraum der Polynome in einer Veränderlichen x vom Grad $\begin{eqnarray} \leq 3 \end{eqnarray}$ und g: V -> die lineare Abbildung f -> f''. Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von g. Ich hab dann $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^3~a_nx^{n} \end{eqnarray}$ und dann von $\begin{eqnarray} f= a_0+a_1x+a_2x^{2}+a_3x^{3} \end{eqnarray}$ die erste und zweite Ableitung gebildet: $\begin{eqnarray} f'= a_1+2a_2x+3a_3x^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f''=2a_2+6a_3x \end{eqnarray}$ Weiter weiß ich nicht
18.02.2007, 13:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor Also als Körper haben wir $\begin{eqnarray} K:=\mathbb Z / 3\mathbb Z \end{eqnarray}$ Die Elemente von V haben die Gestalt: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{j=0}^3~a_jx^{j},~a_j \in K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = a_1+2a_2x+3a_3x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 2a_2 + 6a_3x = b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g:~f \rightarrow f'' \end{eqnarray}$ Betrachten wir zunächst allgemein (Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) die Abbildung. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&0&2&0 \\ 0&0&0&6 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So nun haben wir aber den Körper $\begin{eqnarray} K:=\mathbb Z / 3\mathbb Z \end{eqnarray}$ wie sieht also die Matrix aus?
18.02.2007, 13:58	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da 6=0 bei Z/3Z Und dann?
18.02.2007, 14:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme die Eigenwerte/Eigenvektoren der Matrix...
18.02.2007, 22:44	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} det(A-xE_n)=0 \end{eqnarray}$ folgt dann $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} -x & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -x \end{pmatrix}= -x(-x)(-x)(-x) = x^{4} = 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Eigenwert x=0 => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} 2a_3=0 <=> a_3=0 , a_1,a_2,a_4 \end{eqnarray}$ beliebig => $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind die Eigenvektoren und alle drei zusammen der Vektorraum Stimmt das alles so?
18.02.2007, 22:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das Vorgehen ist richtig. Jedoch ist die Wahl von x sehr ungeschickt. Nimmt t oder so. Denn x haben wir schon für die "Polynome in x" vergeben. Die Einträge in unseren Vektoren sellen die Koeffizienten (a's, b's) dar. Also sollte du eine andere Variable wählen.
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21.02.2007, 12:34	Isomorphismus	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe dazu hab ich auch noch ne Frage. Man kann doch sagen Eigenvektoren sind doch Vektoren die durch die Darstellungsmatrix nur gestreckt werden? Und zwar um den Faktor des Eigenwertes oder? Ahja und ist mit verallgemeinerter Eigenvektor und Hauptvektor dasselbe gemeint?
21.02.2007, 12:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v \neq \vec{0} \end{eqnarray}$ gilt, dass es ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb K \end{eqnarray}$ gibt, mit: $\begin{eqnarray} Av = \lambda\cdot v \end{eqnarray}$ d.h. er wird auf skalares Vielfaches von sich selbst abgebildet. Mit den geometrischen Begriffen bin ich vorsichtig. Er könnte z.B. auch gestaucht werden. Hauptvektor Ein Eigenvektor ist ein Hauptvektor erster Stufe. Den Begriff verallgemeinerter Eigenvektor ist mir leider nicht geläufig.
21.02.2007, 12:52	Isomorphimus	Auf diesen Beitrag antworten »
unser Prof hat den eingeführt. Also die Definition hört sich nach Hauptvektor an. Aber schon mal Danke

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