charakteristische Funktion von Verteilung bestimmen

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristische Funktion von Verteilung bestimmen
Hallo,
meine Aufgabe lautet:
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zufallsvariable mit Verteilung . Bestimme die charakteristische Funktionen folgender Verteilungen:
a) wobei
b) wobei
c) wobei
d) wobei und


Die Definition für die charakteristische Funktion aus dem Skript habe ich hier:
[attach]28420[/attach]

Nun verwundert mich zuerst einmal, dass es zwei charakteristische Funktionen zu geben scheint, die zu P und die zu X. Ich nehme an, hier verwende ich die von X, da ich ja die Verteilung gegeben habe.

Fangen wir mal mit der a) an
Um die charakteristische Funktion zu berechnen, verwende ich die gegebene Formel und erhalte durch Einsetzen meiner Verteilung das hier:
.

Aber wie geht es jetzt weiter? Ich weiß weder t noch x, noch die Grenzen, um das Integral ausrechnen zu können... Ich weiß aber noch, dass liegt. Vielleicht hilft das weiter?

Würde mich über Hilfe sehr freuen
lg Duude
JPL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: charakteristische Funktion von Verteilung bestimmen
Hi,

diese Bedingung , hilft dir bei a) nicht viel.
Was hilft, ist zu bedenken, das Ber(p) diskret ist und eigentlich nur für x=0 und x=1 Werte ungleich 0 ergibt.
Das heisst zum einen, dass man das Integral als Summe schreiben kann und diese in en Bereich und zerlegen kann. Wenn man sich dann noch die W'keitsfunktion vor Augen hält ist man ziemlich fix bei der Lösung.
die anderen Aufgaben gehen dann im Grunde genauso.

Grüße,
JPL
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok... ich versuche das mal:

Weil Ber(p) diskret ist, nimmt es nur auf 0 und 1 Werte für die charakteristische Funktion an. Also teile ich unten das Integral in einen Bereich ein (den ich gleich weglasse, weil dort das Integral sowieso = 0 ist) und in einen Bereich . Da p aber ja in [0,1] liegt gilt in dem Fall . Diese beiden Werte habe ich also in mein Integral eingesetzt un das folgende erhalten:



Ich habe nun noch Probleme, wie ich weiterrechnen soll... Wie kann ich z.B. Ber(p)(0) oder ausrechnen? Und mir sieht das irgendwie komisch aus, dass da z.B. Ber(p)(1) steht - ist die Bernulliverteilung dann von zwei Variablen abhängig? Oder sollte ich da besser nur Ber(1) und Ber(0) schreiben, da ich diese ja aus dem p erhalten habe? Und wie könnte ich das dann ausrechnen?

lg Duude
JPL Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
schon ganz gut.
nur das hier
[quote]
Weil Ber(p) diskret ist, nimmt es nur auf 0 und 1 Werte für die charakteristische Funktion an. Also teile ich unten das Integral in einen Bereich ein (den ich gleich weglasse, weil dort das Integral sowieso = 0 ist) und in einen Bereich . Da p aber ja in [0,1] liegt gilt in dem Fall . Diese beiden Werte habe ich also in mein Integral eingesetzt un das folgende erhalten:
[quote] ist 2 mal falsch und daher im Resultat richtig. Denn Ber(p) nimmt nur auf 0 und 1 Werte ungleich 0 an, daher ist der Bereich uninteressant.
Der Rest stimmt dann ... tja und Ber(p)(1) ... was beschreibt das? Es berscheibt die W'keit, dass eine Bernoulliverteilung den Wert 1 annimmt wenn man eine W'keit von p zugrunde legt. Und Ber(p)(0) ist genau die Gegenw'keit. diese ergeben zusammen 1. ich glaube noch mehr Hinweise brauchst du nicht.

Grüße,
JPL
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar.
Danke für deine Hilfe smile
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