Eigenwerte,Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit

11.02.2013, 17:37

baba2k

Eigenwerte,Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit

Hallo zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
[attach]28424[/attach]

Meine Ideen:
a)
[attach]28425[/attach]
Ich hoffe, dass ist soweit richtig, allerdings weiß ich jetzt nicht was "alle Eigenvektoren" bedeutet.
ist das dann:
für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1: \begin{pmatrix} 2\alpha \\ -\alpha \\ \alpha \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-2: \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \alpha \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Oder:
für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1: \vec{u_1}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-2: \vec{u_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wir hatten noch nie zwei Nullzeilen, deswegen bin ich mir bei bei den Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ unsicher.

b)
Hier weiß ich jetzt nicht weiter, das haben wir in der Vorlesung irgendwie garnicht gemacht.

Laut Hörsaalübung:
Diagonalisierbar, da es für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ (algebraische Vielfachheit ist 1) genau ein Eigenvektor und für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-2 \end{eqnarray*}$ (algebraische Vielfachheit ist 2) genau zwei Eigenvektoren gibt.

c)
Hier habe ich leider keine Idee.

Vielen Dank!

11.02.2013, 18:05

Math1986

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RE: Eigenwerte,Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
a) Die Formulierung "alle Eigenwerte" ist tatsächlich etwas unglücklich, davon gibt es zu jedem Eigenwert unendlich viele smile

Es genügt hier wohl, einfach einen beliebigen Eigenvektor anzugeben, dass diese nur bis auf lineare Vielfache ungleich Null eindeutig bestimmt sind sollte klar sein.

Eigenvektor zu $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ wäre dann z.B.
für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
Eigenvektoren für $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-2 \end{eqnarray*}$ wären dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Wie es in der Hörsaalübung schon gesagt wurde: Die Matrix ist diagonalisierbar, da für jeden Eigenwert die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit ist, d.h. die Eigenvektoren oben bilden dir eine Basis des Vektorraums, bzgl, derer die Darstellungsmatrix Diagonalgestalt hat.

c) Du musst dir bzgl der obigen Basis aus Eigenvektoren die Basismatrix aufstellen. Es ergibt sich so, dass gerade die Eigenwerte die Diagonaleinträge der Matrix sind.

11.02.2013, 18:34

baba2k

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Super, dann habe ich wenigstens schonmal a) und b) verstanden.

Basismatrix aus Basis der Eigenvektoren?

Ich habe jetzt einfach die 3 Eigenvektoren so "aneinandergereiht" das die Diagonale die Eigenwerte sind. Ist das so gemeint?

Also Marix $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke!

//EDIT: Nee das ist ja totaler Mist, was ich da gemacht habe... EW sind ja 1 und -2...

//EDIT: Ehrlich gesagt, habe ich garkeine Idee was ich machen muss um eine Basismatrix zu bekommen.

12.02.2013, 10:23

Math1986

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$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist die Transformationsmatrix, das stimmt schon.
Nun musst du B invertieren und dann $\begin{eqnarray*} B^{-1}\cdot A\cdot B \end{eqnarray*}$ berechnen

12.02.2013, 15:41

baba2k

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Okay, vielen Dank! So?:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & -6 \\ -3 & -2 & 3 \\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B^{-1}\cdot A \cdot B =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 & 0 & -6 \\ -3 & -2 & 3 \\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Klausur muss ich doch jetzt auch nicht mehr aufwendig die Inverse berechnen,
sondern kann einfach die Eigenwerte in die Diagonale schreiben und rundherum nullen,
oder nicht?

Danke!

13.02.2013, 10:05

Math1986

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Zitat:

Original von baba2k

In der Klausur muss ich doch jetzt auch nicht mehr aufwendig die Inverse berechnen,
sondern kann einfach die Eigenwerte in die Diagonale schreiben und rundherum nullen,
oder nicht?

Kommt drauf an, wie die Frage formuliert ist.

PS: Die Rechnung ist richtig!